[論文レビュー] Notes on Ding-Iohara algebra and AGT conjecture

Hidetoshi Awata, Boris Feigin+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、Ding-Iohara代数を用いてU(1)ゲージ理論のAGT対応のqアナログを確立し、行列要素がNekrasov型の式に因数分解する頂点演算子Φ(w)を導入する。レベル1の場合、マックドナルド多項式状態間の行列要素がq変種Nekrasov因子と一致することを示し、q変種設定におけるAGT関係の表現論的実現を提供する。

ABSTRACT

We study the representation theory of the Ding-Iohara algebra $\calU$ to find $q$-analogues of the Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT) relations. We introduce the endomorphism $T(u,v)$ of the Ding-Iohara algebra, having two parameters $u$ and $v$. We define the vertex operator $Φ(w)$ by specifying the permutation relations with the Ding-Iohara generators $x^\pm(z)$ and $ψ^\pm(z)$ in terms of $T(u,v)$. For the level one representation, all the matrix elements of the vertex operators with respect to the Macdonald polynomials are factorized and written in terms of the Nekrasov factors for the $K$-theoretic partition functions as in the AGT relations. For higher levels $m=2,3,...$, we present some conjectures, which imply the existence of the $q$-analogues of the AGT relations.

研究の動機と目的

• Ding-Iohara代数を用いて、アールデイ＝ガイヨット＝タチカワ（AGT）対応のq変種を確立すること。
• 二パラメータの自己準同型T(u,v)を用いて、代数生成子との置換関係を通じてフォック空間上に頂点演算子Φ(w)を定義すること。
• U(1)の場合において、Φ(w)の整数基底状態間の行列要素がq変種Nekrasov因子に因数分解することを示すこと。
• m重テンソル積における頂点演算子構造の予想を用いて、U(m)ゲージ群の高レベル表現へ枠組みを拡張すること。
• マックドナルド多項式とヘイゼンベルグ代数実現を用いて、K理論的バージョンのAGT対応の表現論的基盤を提供すること。

提案手法

• 二つのパラメータuとvを用いたDing-Iohara代数上の自己準同型T(u,v)を導入し、頂点演算子Φ(w)を定義する。
• Φ(w)を正規化Φ(w)|0⟩ = |0⟩ + ⋯およびすべてのa ∈ 𝒰に対してT(vw, q⁻¹tuw)(a)Φ(w) = Φ(w)T(q⁻¹tvw, uw)(a)を満たす置換関係により定義する。
• q, t, u, vに関する有理関数の和を含む指数関数的演算子を用いて、Φ(w)をヘイゼンベルグ生成子aₙの関数として表現する。
• マックドナルド対称関数Pλ(x;q,t)を基底とし、レベル1の場合に整数基底|Kλ⟩をJλ(x;q,t)の整数形として定義する。
• 高レベルm ≥ 2の場合、m重テンソル積ℱᵤ₁ ⊗ ⋯ ⊗ ℱᵤₘ上に表現を定義し、頂点演算子の予想的構造を導入する。
• q-Saalschütz和公式を用いて、特定のケース（例えば一列の分割や一列の分割）における行列要素の因数分解を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ding-Iohara代数を用いて、AGT対応をq変種に一般化できるか。
• RQ2 フォック空間上の頂点演算子Φ(w)の行列要素は、q変種設定においてNekrasov分配関数に類似した形に因数分解するか。
• RQ3 Ding-Iohara代数の高レベル表現を通じて、U(m)ゲージ理論のqアナログ版AGT関係は一貫して得られるか。
• RQ4 m重テンソル積空間上に、行列要素がq変種Nekrasov因子に一致するように、頂点演算子Φ(w)を一貫して定義できるか。
• RQ5 自己準同型T(u,v)は、Φ(w)を定義する置換関係を実現し、行列要素の因数分解を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• レベル1の表現において、行列要素⟨Kλ|Φ(w)|Kμ⟩は、q変種Nekrasov因子の積に因数分解され、明示的にNλ,μ(qv/tu)(−tuvw/q)|λ|(tvw/q)−|μ|u|μ|t−n(μ)q^n(μ′)として与えられる。
• 頂点演算子Φ(w)はヘイゼンベルグ生成子の指数関数として一意に定義され、Φ(w) = exp(−∑(1/n)((vⁿ−(t/q)ⁿuⁿ)/(1−qⁿ))a₋ₙwⁿ) × exp(∑(1/n)((v⁻ⁿ−u⁻ⁿ)/(1−q⁻ⁿ))aₙw⁻ⁿ)の形を取る。
• 一列の分割λ=(j), μ=(k)の場合、行列要素はqアナログ版Nekrasov因子と一致し、U(1)の場合のAGT関係との一貫性が確認される。
• 一列の分割λ=(1ʲ), μ=(k)の場合、行列要素はq-Saalschütz和公式を用いて表現され、(t⁻ʲv/u; t)ₖおよび(q²⁻ᵏv/u; q)ₖを含む因数分解形が得られる。
• 整数基底|Kλ⟩は、レベル1の場合にマックドナルド多項式の整数形Jλ(x;q,t)に対応する、命題2.11で示されている。
• 第3.4節の予想（予想3.13）は、高レベルm ≥ 2の場合、m重テンソル積空間上での頂点演算子Φ(w)がU(m)ゲージ理論のq変種AGT関係をもたらすと示唆しているが、m > 1の場合の基底構造は未解決のままである。