[论文解读] Asymptotics for the expected shortfall

Tobias Zwingmann, Hajo Holzmann|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文在最弱的正则性条件下——即在分位数处分布函数连续且严格单调——建立了经验分位数与预期短缺估计量的联合渐近正态性，无需假设可微性或密度为正。通过使用二元评分函数和极大值连续性定理，证明了即使分位数估计量以非标准速率收敛，预期短缺仍保持在 $\sqrt{n}$-速率下的渐近正态性，从而解决了鲁棒风险度量估计中的一个关键技术难题。

ABSTRACT

We derive the joint asymptotic distribution of empirical quantiles and expected shortfalls under general conditions on the distribution of the underlying observations. In particular, we do not assume that the distribution function is differentiable at the quantile with strictly positive derivative. Hence the rate of convergence and the asymptotic distribution for the quantile can be non-standard, but our results show that the expected shortfall remains asymptotically normal with a $\sqrt{n}$-rate, and we even give the joint distribution in such non-standard cases. In the derivation we use the bivariate scoring functions for quantile and expected shortfall as recently introduced by Fissler and Ziegel (2016). The main technical issue is to deal with the distinct rates for quantile and expected shortfall when applying the argmax-continuity theorem. We also consider spectral risk measures with finitely-supported spectral measures, and illustrate our results in a simulation study.

研究动机与目标

• 在底层分布的正则性条件较弱的前提下，推导经验分位数与预期短缺的联合渐近分布。
• 证明即使分位数估计量的收敛速率为非标准速率，预期短缺估计量仍保持在 $\sqrt{n}$-速率下的渐近正态性。
• 将分析扩展至具有有限支撑谱测度的谱风险度量。
• 解决当分位数与预期短缺估计量以不同速率收敛时，应用极大值连续性定理的技术挑战。
• 为在非正则设定（如分布函数在分位数处有拐点或密度为零）下对风险度量进行统计推断提供严格的理论基础。

提出的方法

• 使用 Fissler 和 Smith（2015）最近提出的用于分位数与预期短缺的二元评分函数，定义最小对比估计量。
• 应用极大值连续性定理，在一般条件下推导估计量的联合渐近分布。
• 通过将参数空间分解为二进制壳层，并利用度量熵论证，处理分位数与预期短缺估计量的不同收敛速率。
• 使用覆盖数与度量熵的链式论证，控制参数空间上的经验过程。
• 采用对称化与压缩论证，通过评分函数差值的有界性与光滑性，控制经验过程的期望上确界。
• 通过结合马尔可夫不等式与熵积分的矩界，实现对经验过程的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最弱正则性条件下，即使分位数估计量不收敛于标准速率，预期短缺估计量仍保持渐近正态性？
• RQ2 当分位数与预期短缺估计量以不同速率收敛时，如何应用极大值连续性定理？
• RQ3 当分布函数在分位数处不可微时，经验分位数与预期短缺的联合渐近分布为何？
• RQ4 在弱正则性条件下，是否可对具有有限支撑谱测度的谱风险度量进行一致估计，并获得其已知的渐近分布？
• RQ5 非标准分位数收敛对预期短缺估计量的渐近行为有何影响？

主要发现

• 即使分位数估计量以非标准速率收敛（例如密度在分位数处为零），预期短缺估计量仍保持在 $\sqrt{n}$-速率下的渐近正态性。
• 仅假设分布函数在 $\alpha$-分位数处连续且严格递增，即可推导出分位数与预期短缺估计量的联合渐近分布。
• 本文通过考虑两种估计量不同收敛速率的链式论证，实现了对经验过程的统一控制。
• 预期短缺估计量的渐近正态性无需在分位数处具有正密度或可微性，扩展了以往依赖此类光滑性假设的结果。
• 该技术框架可适用于具有拐点或分布函数在分位数处导数为零的情形（如模拟场景中出现的拐点或二阶零点），并能推导出相应的渐近分布。
• 该方法适用于具有有限支撑谱测度的谱风险度量，在相同弱正则性条件下可推导其联合渐近分布。