[论文解读] Asymptotics of the Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions

V. Matsaev, Mikhail Sodin|ArXiv.org|Nov 4, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在对数权函数满足特定条件下，建立了加权解析函数与整函数空间中傅里叶变换和拉普拉斯变换的精确渐近估计。关键结果是：在零点附近，逆傅里叶变换的对数衰减速率与权函数对数模的勒让德变换完全匹配，且在权函数增长满足正则性条件时，给出了精确的误差界。

ABSTRACT

We study the asymptotics near the origin of the Fourier transform in weighted Hardy spaces of analytic functions in the upper half-plane, and of the Laplace transform in weighted spaces of entire functions of zero exponential type. These results are applied to two closely related problems posed by E. Dyn'kin: we find the asymptotics of the depth of zero in non-quasianalytic Denjoy-Carleman classes, and of the exact Levinson-Sjoberg majorant.

研究动机与目标

• 确定上半平面加权 Hardy 空间中函数的逆傅里叶变换的渐近行为。
• 分析零指数型整函数在加权空间中拉普拉斯变换的增长性。
• 解决 E. Dyn’kin 提出的两个问题：非拟解析 Denjoy-Carleman 类中的零点深度，以及 Levinson-Sjöberg 控制函数的精确形式。
• 根据权函数的勒让德变换，建立逆傅里叶变换与拉普拉斯变换的上确界范数的精确渐近公式。

提出的方法

• 通过非负、偶函数、递增的对数权函数 $ \varphi $ 定义加权 Hardy 空间 $ H^p(W) $，其中权函数 $ W $ 由 $ \varphi $ 决定。
• 对 $ f \in H^p(W) $ 使用逆傅里叶变换 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-isx}dx $，并将其解析延拓至上半平面。
• 引入函数 $ \rho_{p,W}(s) = \sup_{\|f\|_{H^p(W)} \leq 1} |(\mathcal{F}^{-1}f)(s)| $，用于衡量在 $ s = 0 $ 处的零点深度。
• 定义勒让德变换 $ Q(s) = \sup_{y>0} \left[ \log|W(iy)| - ys \right] $，其控制 $ \rho_{p,W}(s) $ 的渐近衰减速率。
• 应用复分析技术，包括 Phragmén-Lindelöf 原理、Krein-Akhiezer 分解，以及对 $ q(y) = \log|W(iy)| $ 的三阶导数的估计，推导出上界。
• 利用 Domar 和 Borichev 关于具有非负泰勒系数的整函数的结果，构造出达到渐近界极值的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ s \to 0 $ 时，$ f \in H^p(W) $ 的逆傅里叶变换 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) $ 的精确渐近行为是什么？
• RQ2 当 $ \zeta \to 0 $ 时，零指数型整函数 $ f \in B(W) $ 的拉普拉斯变换 $ \mathcal{L}f(\zeta) $ 的增长行为如何？
• RQ3 E. Dyn’kin 提出的非拟解析 Denjoy-Carleman 类中零点的精确渐近深度是什么？
• RQ4 Levinson-Sjöberg 控制函数的精确形式是什么？它与权函数增长之间有何关系？
• RQ5 在对数权函数 $ \varphi $ 满足何种条件下，有 $ \log \rho_{p,W}(s) \sim -Q(s) $ 成立（当 $ s \to 0 $ 时）？

主要发现

• 当 $ s \to 0 $ 时，若满足条件 (v)，则 $ \log \rho_{p,W}(s) = -(1+o(1))Q(s) $，其中 $ Q(s) $ 为 $ \log|W(iy)| $ 的勒让德变换。
• 极值函数 $ f = 1/W $ 满足：当 $ s \to 0 $ 时，有 $ \left(\mathcal{F}^{-1}\frac{1}{W}\right)(s) = (1+o(1))\sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{-Q(s)} $。
• 若 $ \varphi $ 具有正的下阶，则当 $ s \to 0 $ 时，有 $ \log \rho_{p,W}(s) = -Q(s) + O(\log Q(s)) $。
• 对于拉普拉斯变换，定义 $ \lambda_W(s) = \sup_{\|f\|_{B(W)} \leq 1} |(\mathcal{L}f)(-is)| $，在相同条件下，有 $ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $。
• 对于满足 (i)–(iv)、(iv-b) 和 (vii) 的权函数 $ \varphi $，利用 Borichev 的结果，$ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $ 的渐近等价关系无条件成立。
• 函数 $ q(y) = \log|W(iy)| $ 是凹函数且单调递增，满足 $ q'(y) \to 0 $（当 $ y \to \infty $ 时），且在给定假设下，有 $ Q(q'(y)) \asymp \varphi(y) $。