[论文解读] Asymptotiques de nombres de Betti d'hypersurfaces projectives réelles

Frédéric Bihan|ArXiv.org|Dec 12, 2003

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文研究了复射影空间中实射影超曲面及其双覆盖的贝蒂数的渐近增长。通过维罗的组合方法（结合凸函数与符号分布），证明了极限常数 $\zeta_{i,n}$ 和 $\delta_{i,n}$ 的存在性，使得当 $m,k \to \infty$ 时，$\max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n \to \zeta_{i,n}$ 且 $\max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n \to \delta_{i,n}$，并证明当 $n \geq 5$ 时，并非所有实超曲面都是 $T$-超曲面，同时给出了 $\zeta_{0,3}$ 和 $\zeta_{1,3}$ 的显式界限。

ABSTRACT

We are interested in the maximal values of the Betti numbers b_i({\mathbb R}X_m^n) for fixed i,m,n; where {\mathbb R}X_m^n is the real part of a real nonsingular hypersurface of degree m in the complex projective space {\mathbb C}P^n, and in the maximal values of the Betti numbers b_i({\mathbb R}Y_{2k}^n) for fixed i,k,n; where {\mathbb R}Y_{2k}^n is the real part of a double covering Y_{2k}^n of{\mathbb C}P^n ramified over some real nonsingular hypersurface of degree 2k. We show the existence of limits lim_{m -> +\infty} [Max b_i({\mathbb R}X_m^n)]/m^n=h_{i,n} and lim_{k -> +\infty} [Max b_i({\mathbb R}Y_{2k}^n)]/k^n =d_{i,n}. We construct real nonsingular hypersurfaces as small perturbations of double hypersurfaces using the Viro method. This construction enables us to obtain recursive lower bounds for the h_{0,n} and d_{0,n}, and inequalities h_{0,3} >= d_{0,2}/6+1/12, h_{1,3} >= d_{1,2}/6+1/6. As applications, we show the existence, for any integer n >= 5, of real algebraic hypersurfaces in {\mathbb C}P^n which are not T-hypersurfaces, and we prove inequalities 35/96 <= h_{0,3} <= 5/12, 35/48 <= h_{1,3} <= 5/6.

研究动机与目标

• 确定当 $m \to \infty$ 时，非奇异实超曲面 $\mathbb{R}X_m^n$ 的最大贝蒂数 $b_i(\mathbb{R}X_m^n)$ 的渐近行为。
• 研究实双覆盖 $\mathbb{R}Y_{2k}^n$ 的贝蒂数在度数为 $2k$ 的非奇异实超曲面上的渐近增长。
• 为固定 $i,n$ 建立极限常数 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ 和 $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ 的存在性。
• 利用维罗方法构造实超曲面的显式族，以推导 $\zeta_{0,n}$ 和 $\delta_{0,n}$ 的递归下界，并与已知的 $T$-超曲面界限进行比较。
• 证明当 $n \geq 5$ 时，存在度数为 $m$ 的 $\mathbb{C}P^n$ 中的实超曲面不是 $T$-超曲面，方法是通过与 $T$-超曲面界限比较渐近增长速率。

提出的方法

• 作者使用维罗的方法，通过在格点多面体上定义凸函数与符号分布，构造具有预定拓扑的实代数簇。
• 他们将双超曲面定义为 $\{f_k^2 - \epsilon f_{2k} = 0\}$ 的小形变，其中 $f_k$ 和 $f_{2k}$ 分别是次数为 $k$ 和 $2k$ 的实齐次多项式。
• 所得实超曲面 $\mathbb{R}X$ 的拓扑由一种‘剪切-拼接’构造决定，涉及乘积 $\mathbb{R}X_k^l \times \mathbb{R}Y_{2k}^{n-l}$（$l = 1,\dots,n$），其中 $Y_{2k}^{n-l}$ 是低维射影空间的实双覆盖。
• 通过证明当 $k \to \infty$ 时，剪切-拼接结构的拓扑复杂度可忽略不计，从而分析渐近行为，并允许定义极限常数 $\zeta_{i,n}$ 和 $\delta_{i,n}$。
• 通过递归地对低维构建模块应用维罗构造，构建 $\zeta_{0,n}$ 和 $\delta_{0,n}$ 的递归下界。
• 利用在单纯剖分与符号分布空间上的紧致性论证，证明了 $\zeta_{i,n}$ 和 $\delta_{i,n}$ 的极限存在，其依据是剪切-拼接结构中组件数在渐近区域可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m \to \infty$ 时，$\mathbb{C}P^n$ 中非奇异实超曲面的度数为 $m$ 的最大 $i$-阶贝蒂数 $b_i(\mathbb{R}X_m^n)$ 的渐近增长速率是什么？
• RQ2 对于固定的 $i,n$，极限 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ 和 $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ 是否存在？
• RQ3 能否通过基于维罗方法的递归构造，从下界估计渐近极限 $\zeta_{i,n}$ 和 $\delta_{i,n}$？
• RQ4 当 $n \geq 5$ 时，是否存在高次实超曲面在 $\mathbb{C}P^n$ 中不是 $T$-超曲面（即不能通过凸函数的维罗拼接实现）？
• RQ5 渐近极限 $\zeta_{i,n}$ 与 $T$-超曲面对应的极限 $T\zeta_{i,n}$ 相比如何，特别是在高维情形下？

主要发现

• 对所有 $i,n$，极限 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ 和 $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ 存在，且为正实数。
• 当 $n=3$ 时，本文建立了界限 $\frac{35}{96} \leq \zeta_{0,3} \leq \frac{5}{12}$ 和 $\frac{35}{48} \leq \zeta_{1,3} \leq \frac{5}{6}$。
• 本文证明了 $\zeta_{0,3} \geq \frac{\delta_{0,2}}{6} + \frac{1}{12}$ 和 $\zeta_{1,3} \geq \frac{\delta_{1,2}}{6} + \frac{1}{6}$，将三维与二维不变量联系起来。
• 当 $n \geq 5$ 时，本文表明 $T\zeta_{0,n} < \zeta_{0,n}$，意味着 $\mathbb{C}P^n$ 中高次实超曲面并非全是 $T$-超曲面。
• 本文通过在低维实超曲面与双覆盖的积上应用维罗构造，提供了 $\zeta_{0,n}$ 和 $\delta_{0,n}$ 的递归下界。
• 欧拉示性数的渐近增长满足 $\max \chi(\mathbb{R}X_m^n) \sim \chi_n \cdot m^n$，其中 $\chi_n$ 为某常数，该结果可推广至其他拓扑不变量。