[论文解读] Atomic decomposition of product Hardy spaces via wavelet bases on spaces of homogeneous type

Yongsheng Han, Ji Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文在齐次型乘积空间 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 上建立了乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 的原子分解，使用标准正交小波基与双 dyadic 网格，且无需对拟度量或加倍测度作额外假设。关键结果表明，乘积 Hardy 空间及其相关的 BMO 型空间与小波基和 dyadic 网格的选择无关，且对所有 $q > 1$，$H^p(\widetilde{X})$ 与乘积原子 Hardy 空间 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 一致。证明依赖于 Journé 型覆盖引理，以及通过 $(p,q)$-原子对小波展开的 $L^p$-范数进行细致估计。

ABSTRACT

We provide an atomic decomposition of the product Hardy spaces $H^p(\widetilde{X})$ which were recently developed by Han, Li, and Ward in the setting of product spaces of homogeneous type $\widetilde{X} = X_1 imes X_2$. Here each factor $(X_i,d_i,μ_i)$, for $i = 1$, $2$, is a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss. These Hardy spaces make use of the orthogonal wavelet bases of Auscher and Hytönen and their underlying reference dyadic grids. However, no additional assumptions on the quasi-metric or on the doubling measure for each factor space are made. To carry out this program, we introduce product $(p,q)$-atoms on $\widetilde{X}$ and product atomic Hardy spaces $H^{p,q}_{ m at}(\widetilde{X})$. As consequences of the atomic decomposition of $H^p(\widetilde{X})$, we show that for all $q > 1$ the product atomic Hardy spaces coincide with the product Hardy spaces, and we show that the product Hardy spaces are independent of the particular choices of both the wavelet bases and the reference dyadic grids. Likewise, the product Carleson measure spaces ${ m CMO}^p(\widetilde{X})$, the bounded mean oscillation space ${ m BMO}(\widetilde{X})$, and the vanishing mean oscillation space ${ m VMO}(\widetilde{X})$, as defined by Han, Li, and Ward, are also independent of the particular choices of both wavelets and reference dyadic grids.

研究动机与目标

• 在 Coifman 和 Weiss 意义下的齐次型空间 $X_i$ 的乘积空间 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 中，建立乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 的原子分解。
• 定义并研究乘积 $(p,q)$-原子及其关联的乘积原子 Hardy 空间 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$，作为分解的工具。
• 在最小几何假设下，证明乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 与 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 对所有 $q > 1$ 一致。
• 证明乘积 Hardy 空间、Carleson 测度空间 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$ 以及 BMO 和 VMO 空间与小波基和参考 dyadic 网格的选择无关。

提出的方法

• 作者在 $\widetilde{X}$ 上引入乘积 $(p,q)$-原子，其满足与乘积结构及底层空间几何相适应的取消与大小条件。
• 他们采用 Auscher 和 Hyt€n€en 在齐次型空间上构造的标准正交小波基，该基依赖于 dyadic 网格，并满足再生公式与光滑性性质。
• 使用 Journé-型覆盖引理以控制 dyadic 方块的重叠，并将小波展开的 $L^p$-范数估计为原子范数。
• 原子分解的证明依赖于 Hölder 不等式与小波系数的 $L^q$-范数估计，通过加倍条件与上维数 $\omega_i$ 精确控制测度增长。
• 作者利用原子的取消性质与小波的光滑性，控制远离原子支集区域的贡献，确保在不同 dyadic 网格间的一致性。
• 通过证明不同小波基与 dyadic 网格选择下的原子范数等价（仅依赖于几何参数的常数），确立了空间与选择无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不附加拟度量或加倍测度假设的前提下，为齐次型乘积空间上的乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 建立原子分解？
• RQ2 乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 是否与所有 $q > 1$ 的乘积原子 Hardy 空间 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 一致？
• RQ3 $\widetilde{X}$ 上的乘积 Hardy 空间、BMO、VMO 与 Carleson 测度空间是否依赖于小波基或参考 dyadic 网格的选择？
• RQ4 在缺乏对拟度量正则性假设的情况下，如何通过原子范数控制 $H^p(\widetilde{X})$ 中函数的小波展开？

主要发现

• 对所有 $q > 1$，乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 可表示为乘积 $(p,q)$-原子的原子分解，且原子范数与 $H^p$-范数等价。
• 对所有 $q > 1$，乘积原子 Hardy 空间 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 与乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$ 一致，确立了定义的等价性。
• 乘积 Hardy 空间 $H^p(\widetilde{X})$、Carleson 测度空间 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$ 以及 BMO 和 VMO 空间与标准正交小波基和参考 dyadic 网格的选择无关。
• 范数等价性中的常数仅依赖于 $p$、$q$ 以及空间的几何常数（拟三角常数 $A_0^{(i)}$、加倍常数 $C_\mu^{(i)}$ 与上维数 $\omega_i$）。
• 证明依赖于 Journé-型覆盖引理与小波展开的 $L^p$-估计，关键步骤是 $B_{11}$ 与 $B_{12}$ 关于原子与测度量的统一有界性。
• 通过证明不同小波基与 dyadic 网格选择下的原子范数在几何参数依赖的常数下一致等价，确立了空间与选择无关性。