[论文解读] Automata and Reduced Words in the Free Group

Thomas Ang, Giovanni Pighizzini+2 more|ArXiv.org|Oct 23, 2009

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文研究自由群中形式语言在约化表示下的封闭性质，表明正则语言在约化表示下是封闭的，而上下文无关语言则不是。本文建立了状态复杂度的上下界，并证明了与正则语言等价的单词集合可能不是正则的，且广义约化表示形式甚至在正则输入下也无法保持上下文无关性。

ABSTRACT

We consider some questions about formal languages that arise when inverses of letters, words and languages are defined. The reduced representation of a language over the free monoid is its unique equivalent representation in the free group. We show that the class of regular languages is closed under taking the reduced representation, while the class of context-free languages is not. We also give an upper bound on the state complexity of the reduced representation of a regular language, and prove upper and lower bounds on the length of the shortest reducible string in a regular language. Finally we show that the set of all words which are equivalent to the words in a regular language can be nonregular, and that regular languages are not closed under taking a generalized form of the reduced representation.

研究动机与目标

• 分析形式语言类在自由群中约化表示下的封闭性质。
• 确定正则语言的约化表示是否仍为正则，以及与正则语言中所有单词等价的集合是否为正则。
• 建立正则语言中可约短字符串长度的上下界。
• 研究广义约化表示的行为，其中约化由任意等式定义，并分析其封闭性质。

提出的方法

• 定义一个约化关系 $\vdash$，通过移除相邻的逆对 $aa^{-1}$，并利用纽曼引理证明其合流性，从而确保每个 $w$ 有唯一的约化词 $r(w)$。
• 使用确定性与 $\epsilon$-NFA 构造来建模语言接受与约化语言表示，并进行状态复杂度分析。
• 构造一个 PDA 来识别与给定语言 $L$ 中单词等价的所有单词，通过模拟栈式符号及其逆的比较。
• 通过反转约化语言自动机并结合基于栈的等价性检查，证明当 $L$ 为正则语言时，等价单词集合 $\mathrm{eq}(L)$ 是上下文无关的。
• 设计反例，利用自动机 $M_n$ 展示正则语言中可约字符串的最大长度。
• 通过引入任意定义方程集，推广约化系统，并分析由此产生的广义约化表示 $r_g(L)$ 的封闭性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则语言的约化表示是否总是正则的？
• RQ2 与正则语言中所有单词等价的单词集合是否可能不是正则的？
• RQ3 正则语言中可约短字符串长度的上下界是什么？
• RQ4 上下文无关语言类在约化表示下是否封闭？
• RQ5 当约化由任意等式定义时，正则语言的广义约化表示是否仍为上下文无关？

主要发现

• 正则语言类在约化表示下是封闭的，即正则语言的约化形式总是正则的。
• 上下文无关语言类在约化表示下不封闭，反例表明约化后的语言可能不是上下文无关的。
• 建立了正则语言约化表示的状态复杂度上界，尽管确切值取决于输入自动机的结构。
• 对于由 $n$ 个状态自动机识别的语言，其最短可约字符串长度可达 $n^2/2$，并给出了奇数与偶数 $n$ 的显式构造。
• 与正则语言 $L$ 中所有单词等价的单词集合 $\mathrm{eq}(L)$ 可能不是正则的，例如在 $\{1,1^{-1}\}$ 上取 $L = \{\epsilon\}$ 时，$\mathrm{eq}(L)$ 为非正则的平衡括号语言。
• 对于由任意等式定义的广义约化系统，即使正则语言的广义约化表示也可能不是上下文无关的，例如取 $L = (abc)^*$ 且有交换关系 $ab=ba$，$ac=ca$，$bc=cb$，则 $r_g(L) = \{x : |x|_a = |x|_b = |x|_c\}$，该语言是非上下文无关的。