[论文解读] Automatic continuity for homeomorphism groups of noncompact manifolds

Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文建立了当流形同胚于带边紧流形的内部且标记点集为孤立点与康托集的有限并时，非紧流形的同胚群及其映射类群的自动连续性。通过施坦豪斯性质与分解技术，作者证明了从此类群到任意可分拓扑群的任何同态必然是连续的，将先前关于紧流形的结果推广至非紧情形。

ABSTRACT

We extend the proof of automatic continuity for homeomorphism groups of manifolds to non-compact manifolds and manifolds with marked points and their mapping class groups. Specifically, we show that, for any manifold $M$ homeomorphic to the interior of a compact manifold, and a set $X \subset M$ homeomorphic to the union of a Cantor set and finite set, the relative homeomorphism group $\mathrm{Homeo}(M, X)$ and the mapping class group $\mathrm{Homeo}(M, X)/\mathrm{Homeo}_0(M,X)$ have the property that any homomorphism from such a group to any separable topological group is necessarily continuous.

研究动机与目标

• 将紧流形上的自动连续性性质推广至同胚于带边紧流形内部的非紧流形。
• 在这些流形中，为保持有限点集和/或康托集的相对同胚群建立自动连续性。
• 解决N. Vlamis提出关于无限型曲面映射类群自动连续性的问题。
• 证明非紧流形同胚群在标记点集下具有施坦豪斯性质，从而蕴含自动连续性。

提出的方法

• 通过贝尔纲论证，将罗森达尔与索列cki的施坦豪斯性质准则适配至非紧流形。
• 使用分解引理（遵循爱德华兹–柯比）将支撑于不相交紧致集上的同胚分解。
• 利用可数覆盖与左平移构造群内单位元的对称邻域。
• 对康托集中的点应用基于度量的分离球构造，以控制对称集幂次内的群元素。
• 通过有限次近似，证明群作用在不相交分离球上的行为可被实现于对称集W的有界幂次内。
• 通过移除孤立点并利用同胚不变性，将一般情形约化至康托集情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于同胚于带边紧流形内部的非紧流形，其同胚群的自动连续性性质是否成立？
• RQ2 能否为这些流形中保持康托集或有限点集的同胚群建立施坦豪斯性质？
• RQ3 从紧曲面中移除康托集后得到的无限型曲面的映射类群是否满足自动连续性？
• RQ4 标记集（如有限点、康托集）的何种条件可确保相对同胚群为施坦豪斯群？

主要发现

• 当$M$同胚于带边紧流形的内部且$X$为有限集或康托集时，相对同胚群$\operatorname{Homeo}(M,X)$是施坦豪斯群。
• 在相同条件下，映射类群$\operatorname{Homeo}(M,X)/\operatorname{Homeo}_{0}(M,X)$是施坦豪斯群，因此具有自动连续性。
• 证明依赖于$X$中点周围存在分离球，以及可在对称集$W$的有界幂次内近似球映射。
• $M$上紧支集同胚群$\operatorname{Homeo}_{c}(M)$不具有自动连续性，因为其嵌入$\operatorname{Homeo}(\bar{M})$的映射不连续。
• 该结果将自动连续性推广至无限型曲面的广义映射类群，回答了N. Vlamis的问题。
• 证明表明$G(X) \subset W^{24+n}$，其中$n$仅依赖于$M$的维数，说明单位元邻域包含于$W$的有限次幂中。