[论文解读] Automatic generation of vertices for the Schroedinger functional

Shinji Takeda, Ulli Wolff|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于在Schrödinger函数框架中自动生成顶点的自动递归乘法算法，将原本仅适用于平移不变格点的方法扩展至具有背景场的非平移不变格点。该方法实现了对改进规范作用量的高效微扰计算，并获得了在 $T = L \pm a$ 格点上Schrödinger函数耦合的单圈结果，以及格点方案与 $ar{ ext{MS}}$ 方案之间 $oldsymbol{\Lambda}$ 参数比值的结果，与先前研究一致。

ABSTRACT

We present a multiplication algorithm to recursively construct vertices for the Schroedinger functional in the abelian background field case. The algorithm is suited for automatic perturbative calculations with a variety of actions. As first applications, we derive ratios of the lambda parameters between the lattice scheme (improved gauge actions including six link loops) and the $\bar{ m MS}$ scheme, and one-loop results for the Schroedinger functional coupling with a lattice $T=L \pm a$, which is motivated by considering staggered fermions.

研究动机与目标

• 开发一种用于在具有阿贝尔背景场的Schrödinger函数（SF）中自动生成顶点的自动递归算法，其中时间方向的平移不变性被破坏。
• 将此前仅限于平移不变格点的自下而上的顶点生成算法扩展至包含显式时间依赖背景场的SF设置。
• 实现对多种改进规范作用量（包括六链环作用量）的高效微扰计算。
• 计算在 $T = L \pm a$ 格点上改进规范作用量的Schrödinger函数耦合的单圈结果，其动机源于叠铺费米子形式。
• 推导多种改进作用量的格点方案与 $ar{ ext{MS}}$ 方案之间 $oldsymbol{\Lambda}$ 参数的比值。

提出的方法

• 该算法通过沿格点路径对平行传输算符的泰勒展开系数进行自下而上的递归相乘，构建顶点。
• 顶点以简化顶点的列表形式编码，每个简化顶点存储索引结构 $ (\alpha_k^1, \dots, \alpha_k^r) $ 和振幅 $ f_k $，并单独处理颜色因子 $ \mathcal{C}_{a_1 \cdots a_r} $。
• 该方法执行索引结构的重标记，并通过二项式系数 $ \frac{r!}{s!(r-s)!} f_i' f_j'' $ 计算组合振幅，从而实现传输算符的递归组合。
• 通过推导时间依赖相位因子 $ \phi(x_0) $ 的变体算法，将该方法适配于处理非均匀背景场，这对于 $T = L \pm a$ 格点至关重要。
• 该算法被应用于计算改进规范作用量（包括平面元、威尔逊、岩崎、DBW2以及西曼尼克型作用量）的单圈SF耦合。
• 通过结合已知的 $ \Lambda_{\text{SF}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $ 值，提取 $ \boldsymbol{\Lambda} $ 参数比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将自下而上的顶点生成算法扩展至Schrödinger函数框架，其中边界条件和背景场显式破坏了时间平移不变性？
• RQ2 在 $T = L \pm a$ 格点上，为处理时间依赖背景场，顶点生成过程需要进行哪些修改？
• RQ3 在 $T = L \pm a$ 格点上，具有六链环的改进规范作用量的Schrödinger函数耦合的单圈修正为何？
• RQ4 多种改进作用量的格点方案与 $ar{\text{MS}}$ 方案之间 $oldsymbol{\Lambda}$ 参数的比值是多少？
• RQ5 在单圈阶，$T = L \pm a$ 与 $T = L$ 格点的步长缩放函数中的格点效应如何比较？

主要发现

• 该算法成功生成了具有阿贝尔背景场的SF顶点，即使在时间平移不变性被破坏的情况下，仍能实现顶点的自动微扰计算。
• 在 $T = L \pm a$ 格点上，SF耦合的单圈结果表明，格点效应的量级与标准的 $T = L$ 情况相当，与单位值的偏离处于 $O(a/L)$ 阶。
• 计算了步长缩放函数的相对偏差 $ \delta^{(k)}_1(a/L) $，发现其在 $s = \pm1$ 和 $s = 0$ 情况下均较小且相近，表明格点效应可控。
• 对多种改进规范作用量（包括岩崎、DBW2及西曼尼克型作用量）计算了 $ \Lambda_{\text{Lat}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $ 比值，其取值范围为 $ 0.167 $ 至 $ 44.21 $。
• $ \Lambda_{\text{Lat}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $ 的结果与先前研究总体一致，尽管部分早期工作缺乏误差估计，限制了直接比较。
• 该方法为未来改进规范理论中SF耦合的两圈计算提供了稳健基础。