[论文解读] Automorphism and Cohomology I: Fano variety of lines and Cubic

Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文建立了一般性原理，将光滑射影概形的自同构从正特征提升到零特征，将其应用于证明光滑立方三复形和四复形的法多面体的自同构群在其étale上同调上忠实作用。本文对中等Picard数较小的复立方四复形的自同构群进行了分类，表明当中等Picard数为1时，其自同构群平凡或同构于ℤ/3ℤ；当中等Picard数为2时，其自同构群平凡。

ABSTRACT

In this paper, we prove a general principle of lifting an automorphism from positive characteristic to zero characteristic. We based on the principle to prove the automorphism group of Fano variety of cubic threefold (fourfold) acts on its cohomology group faithfully. We also prove the same result for a singular cubic threefold (fourfold) with one ordinary double singularity. As an application, we classify the automorphism groups of cubic fourfolds with small middle Picard number over complex numbers.

研究动机与目标

• 建立将光滑射影概形的自同构从正特征提升到零特征的一般性原理。
• 证明光滑立方三复形和四复形的法多面体的自同构群在其étale上同调群上忠实作用。
• 将此忠实性结果推广至Lefschetz立方三复形和四复形。
• 对中等Picard数至多为2的光滑复立方四复形的自同构群进行分类。

提出的方法

• 使用基于变形理论和晶体上同调的自同构提升准则，从正特征提升到特征零。
• 应用Lefschetz不动点定理，证明光滑立方三复形及其法多面曲面的自同构作用在上同调上的忠实性。
• 运用Hodge理论和代数几何技巧，证明立方四复形的法多面体的Néron–Severi群是无挠的。
• 利用Milnor纤维和消失上同调构造一个中等Picard数为1的光滑立方四复形，以及一个三阶自同构。
• 应用格理论和表示论分析自同构群在立方四复形的超越上同调格上的作用。
• 利用自同构在Hodge结构上的作用由其在上同调的(3,1)部分上的作用决定这一事实，以限制可能的自同构阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑立方三复形的自同构群在正特征下是否在其étale上同调上忠实作用？
• RQ2 立方三复形和四复形的法多面体的自同构能否从正特征提升到零特征？
• RQ3 中等Picard数为1或2的光滑复立方四复形的自同构群结构如何？
• RQ4 自同构在立方四复形上同调上的作用如何限制其可能的阶数？
• RQ5 能否构造一个中等Picard数为1的光滑立方四复形，以及一个三阶非平凡自同构？

主要发现

• 中等Picard数为1的光滑立方四复形的自同构群要么平凡，要么同构于ℤ/3ℤ。
• 中等Picard数为2的光滑立方四复形的自同构群平凡。
• 存在一个中等Picard数为1的光滑立方四复形，其上存在一个三阶自同构，显式由将一个齐次坐标乘以本原单位根三根之一给出。
• 中等Picard数为1的光滑立方四复形的任意自同构的阶数整除3，且不存在偶数阶自同构。
• 对于中等Picard数为1的光滑立方四复形，其自同构群同构于μₘ，其中m整除3，且m=3可实现。
• 自同构群在超越上同调格上的作用是忠实的，且K3型Hodge结构上的μₘ表示理论表明，φ(m)整除超越上同调格的秩。