[论文解读] Automorphism groups of compact complex surfaces

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 12

一句话总结

本文证明了任意紧复曲面的自同构群均为乔丹群，即每个有限子群都含有有界指数的正规阿贝尔子群。此外，本文进一步证明：除非该曲面有理同构于椭圆曲线与射影直线的乘积，否则其双有理自同构群为乔丹群；此时该群非乔丹。本研究将乔丹性质推广至复几何中的非代数曲面及高维情形。

ABSTRACT

We study automorphism groups and birational automorphism groups of compact complex surfaces. We show that the automorphism group of such surface $X$ is always Jordan, and the birational automorphism group is Jordan unless $X$ is birational to a product of an elliptic and a rational curve.

研究动机与目标

• 确定紧复曲面自同构群的乔丹性质。
• 对双有理自同构群不具乔丹性质的紧复曲面进行分类。
• 将乔丹性质从代数曲面推广至非代数及一般紧复曲面。
• 为这些群的有限子群在生成元数量与指数方面建立有界性。

提出的方法

• 利用Enriques–Kodaira分类，按双有理类型与Kodaira维数分析曲面。
• 通过表示理论将乔丹性质应用于线性代数群及其子群。
• 对极小曲面进行逐类分析：有理曲面、纤维曲面、型 VII 曲面、K3 曲面、Enriques 曲面、双椭圆曲面、Kodaira 曲面及一般型曲面。
• 利用特定曲面（如Inoue、Kodaira、K3曲面）的自同构群已知结果，并通过群论有界性加以推广。
• 使用正合列与纤维作用分析纤维曲面的双有理自同构群。
• 采用先前研究中的有界性结果（如[PS14]、[MZ18]）以在生成元数量与指数方面控制有限子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种情况下，紧复曲面的自同构群为乔丹群？
• RQ2 哪些紧复曲面具有非乔丹的双有理自同构群？
• RQ3 乔丹性质能否从代数曲面推广至非代数紧复曲面？
• RQ4 紧复曲面双有理自同构群的有限子群的生成元数量是否存在统一上界？
• RQ5 自同构群的结构在不同类别的紧复曲面间如何变化？

主要发现

• 任意紧复曲面的自同构群均为乔丹群，无论其是否为代数曲面。
• 双有理自同构群为非乔丹群，当且仅当该曲面有理同构于椭圆曲线与射影直线的乘积。
• 除有理同构于E×P¹的曲面外，其余所有紧复曲面的双有理自同构群中，有限子群在指数与生成元数量上均有界。
• 任意紧复曲面自同构群的有限子群均由至多R(X)个元素生成，其中R(X)仅依赖于X。
• 乔丹性质在所有极小曲面上一致成立，包括非代数曲面（如b2 > 0的型 VII 曲面）。
• 本结果将先前关于代数曲面与凯勒流形的定理推广至全部紧复曲面类别。