[论文解读] Automorphism groups of randomized structures

Tomás Ibarlucía|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文研究了可分、ℵ₀-范畴化度量结构的Borel随机化之自同构群，表明Borel随机化的自同构群同构于一个可测半直积 $G \wr \Omega = L^0(\Omega, G) \rtimes \mathrm{Aut}(\Omega)$，其中 $G = \mathrm{Aut}(M)$ 且 $\Omega$ 为标准概率空间。本文证明，若 $G$ 是Roelcke预紧的，则 $G \wr \Omega$ 也是Roelcke预紧的，并通过Banach理论紧化给出了稳定性与NIP公式保持结果的模型论解释。

ABSTRACT

We study automorphism groups of randomizations of separable structures, with focus on the $\aleph_0$-categorical case. We give a description of the automorphism group of the Borel randomization in terms of the group of the original structure. In the $\aleph_0$-categorical context, this provides a new source of Roelcke precompact Polish groups, and we describe the associated Roelcke compactifications. This allows us also to recover and generalize preservation results of stable and NIP formulas previously established in the literature, via a Banach-theoretic translation. Finally, we study and classify the separable models of the theory of beautiful pairs of randomizations, showing in particular that this theory is never $\aleph_0$-categorical (except in basic cases).

研究动机与目标

• 表征可分、ℵ₀-范畴化度量结构的Borel随机化之自同构群。
• 研究所得自同构群的动力学性质，特别是其Roelcke预紧性与紧化。
• 在随机化理论背景下，恢复并推广稳定性与NIP公式的保持结果。
• 分类随机化优美对理论的可分模型，并分析其模型论性质。

提出的方法

• 使用可测半直积构造 $G \wr \Omega = L^0(\Omega, G) \rtimes \mathrm{Aut}(\Omega)$ 来描述结构 $M$ 的Borel随机化之自同构群，其中 $G = \mathrm{Aut}(M)$。
• 应用由 $G$ 的作用诱导的等距作用，表明近似寡型性与Roelcke预紧性可从 $G$ 提升至 $G \wr \Omega$。
• 显式构造 $R(G \wr \Omega)$ 的Roelcke紧化，以 $R(G)$ 表示，并证明诸如Hilbert可表示性与半群结构等性质可提升至半直积。
• 通过随机化结构中类型空间的表示，将模型论的保持结果转化为Banach理论陈述。
• 分类随机化优美对理论 $(T_R)^P$ 的可分模型，表明在非平凡情况下该理论非ℵ₀-范畴化。
• 利用辅助 sorts 与随机化之间的互定义性，将 $(M^{\Omega_2}, N^{\Omega})^{\mathrm{AP}}$ 的自同构群描述为包含 $G^*_{\mathrm{P}}$ 与 $\mathrm{Aut}(\Omega_1) \wr \Omega_0$ 的半直积。

实验结果

研究问题

• RQ1 可分、ℵ₀-范畴化结构的Borel随机化之自同构群与原结构的自同构群有何关系？
• RQ2 在何种条件下，Borel随机化之自同构群能继承原群的Roelcke预紧性？
• RQ3 能否通过紧化与Banach表示恢复随机化理论中稳定性与NIP公式的保持结果？
• RQ4 随机化优美对理论的可分模型是什么？该理论在何时是ℵ₀-范畴化的？
• RQ5 随机化优美对模型的自同构群结构如何？

主要发现

• 可分结构 $M$ 的Borel随机化之自同构群同构于可测半直积 $G \wr \Omega$，其中 $G = \mathrm{Aut}(M)$。
• 若 $G$ 是Roelcke预紧的，则 $G \wr \Omega$ 也是Roelcke预紧的，且其Roelcke紧化 $R(G \wr \Omega)$ 可显式以 $R(G)$ 表示。
• 诸如Hilbert可表示性与 $R(G)$ 上存在相容半群律等性质可提升至 $R(G \wr \Omega)$。
• 本文通过类型空间的Banach理论紧化，为随机化理论中稳定性与NIP的保持性提供了新的群论证明。
• 随机化优美对理论 $(T_R)^P$ 在非平凡情况下永远不是ℵ₀-范畴化的，除非 $T$ 是紧致结构的理论。
• 随机化优美对 $(M^{\Omega_2}, N^{\Omega})^{\mathrm{AP}}$ 的自同构群同构于 $G^*_{\mathrm{P}} \rtimes (\mathrm{Aut}(\Omega_1) \wr \Omega_0)$，其中 $G^*_{\mathrm{P}} = \{g \in G^{\Omega_2} : g|_{N^{\Omega}} \in \mathrm{Aut}(N)^{\Omega}\}$。