[论文解读] Average Distance in a General Class of Scale-Free Networks with Underlying Geometry

Karl Bringmann, Ralph Keusch+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 26被引用 25

一句话总结

本文引入了一类广义的几何随机图，通过在任意基空间中为每个顶点分配一个随机位置，对Chung-Lu随机图进行扩展，其中边的概率可任意依赖于位置，只要其边缘边概率与Chung-Lu图一致。关键结果是，所有此类模型的平均距离均与Chung-Lu图相同——(2±o(1))log log n / |log(β−2)|——证明了无论几何细节如何，包括非度量空间，超小世界特性的普遍性。

ABSTRACT

In Chung-Lu random graphs, a classic model for real-world networks, each vertex is equipped with a weight drawn from a power-law distribution, and two vertices form an edge independently with probability proportional to the product of their weights. Chung-Lu graphs have average distance O(log log n) and thus reproduce the small-world phenomenon, a key property of real-world networks. Modern, more realistic variants of this model also equip each vertex with a random position in a specific underlying geometry. The edge probability of two vertices then depends, say, inversely polynomial on their distance. In this paper we study a generic augmented version of Chung-Lu random graphs. We analyze a model where the edge probability of two vertices can depend arbitrarily on their positions, as long as the marginal probability of forming an edge (for two vertices with fixed weights, one fixed position, and one random position) is as in Chung-Lu random graphs. The resulting class contains Chung-Lu random graphs, hyperbolic random graphs, and geometric inhomogeneous random graphs as special cases. Our main result is that every random graph model in this general class has the same average distance as Chung-Lu random graphs, up to a factor 1+o(1). This shows in particular that specific choices, such as the underlying geometry being Euclidean or the dependence on the distance being inversely polynomial, do not significantly influence the average distance. The proof also yields that our model has a giant component and polylogarithmic diameter with high probability.

研究动机与目标

• 理解Chung-Lu随机图的超小世界特性（平均距离O(log log n)）在更现实的几何变体中是否依然成立。
• 识别在底层几何和边概率函数上保持超小世界特性的最小结构假设。
• 建立在广泛类别的几何无标度网络中，平均距离具有普遍性，即使基空间是非度量的。
• 证明该一般类中所有模型的巨分量和多项式对数直径特性均以高概率成立。

提出的方法

• 定义一个通用模型，其中每个顶点具有幂律权重和在任意基空间X中的随机位置。
• 允许顶点之间的边概率任意依赖于其位置，但需满足边际概率约束：对于固定的u和w_u，对随机x_v的期望边概率必须在常数因子范围内接近Chung-Lu概率min{1, w_u w_v / W}。
• 使用概率论和集中不等式论证，证明此类任意模型中的平均距离为(2±o(1)) log log n / |log(β−2)|，与Chung-Lu结果一致。
• 证明该类中所有模型以高概率具有线性大小的唯一巨分量和O(polylog n)的直径。
• 将该框架应用于已知模型（如双曲随机图和几何非齐次随机图(GIRGs)），表明它们是该类的特例。
• 处理特殊情况，如阈值模型（例如α=∞），此时边仅在距离与(w_u w_v / W)^{1/d}成比例的范围内形成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Chung-Lu随机图的几何变体中，即使底层空间是非度量的，超小世界特性（平均距离O(log log n)）是否依然成立？
• RQ2 边概率函数（依赖于位置）的何种最小条件足以保持与Chung-Lu图相同的平均距离？
• RQ3 该一般类中是否能保证巨分量和多项式对数直径特性？
• RQ4 在不同几何实例（如欧几里得、双曲或基于阈值的模型）中，平均距离是否具有普遍性？

主要发现

• 所提类中所有模型的平均距离与Chung-Lu随机图相同：当2<β<3时，为(2±o(1)) log log n / |log(β−2)|。
• 平均距离在该类中具有普遍性，无论具体几何结构、距离依赖关系（如反多项式、指数或阈值型）或基空间是否为度量空间。
• 该类包括众所周知的模型，如双曲随机图和几何非齐次随机图(GIRGs)作为特例。
• 该类中所有模型以高概率具有唯一线性大小的巨分量和O(polylog n)的直径。
• 即使基空间是非度量的，该结果依然成立，这在社交网络中具有实际动机，例如共享特征（如爱好）可独立于其他特征诱导连接。
• 边际概率条件确保了Chung-Lu图的核心连通机制得以保留，即使基于位置的依赖关系是任意的。