[论文解读] Average distance of random pure states from maximally entangled and coherent states

Kaifeng Bu, Uttam Singh+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Quantum Information and Cryptography被引用 6

一句话总结

本文使用三种距离度量，研究了哈尓随机纯量子态与最大纠缠态及最大相干态之间的典型距离。结果表明，尽管在大希尔伯特空间中，这些态到最大纠缠态的平均距离保持非零，但归一化的 $ l_1 $-范数相干性却集中在 $ \pi/4 $ 附近，通过测度集中原理展示了典型性。

ABSTRACT

It is well known that random bipartite pure states are typically maximally entangled within an arbitrarily small error. Showing that the marginals of random bipartite pure states are typically extremely close to the maximally mixed state, is a way to prove the above. However, a more direct way to prove the above is to estimate the distance of random bipartite pure states from the set of maximally entangled states. Here, we find the average distance between a random bipartite pure state and the set of maximally entanglement states as quantified by three different quantifiers of the distance and investigate the typical properties of the same. We then consider random pure states of a single quantum system and give an account of the typicality of the average $l_1$ norm of coherence for these states scaled by the maximum value of the $l_1$ norm of coherence. We also calculate the variance of the $l_1$ norm of coherence of random pure states to elaborate more on the typical nature of the scaled average $l_1$ norm of coherence. Moreover, We compute the distance of a random pure state from the set of maximally coherent states and obtain the average distance.

研究动机与目标

• 通过三种不同的距离度量，表征哈尓分布的双粒子纯态与最大纠缠态集合之间的平均距离。
• 研究单系统中随机纯态的 $ l_1 $-范数相干性的典型性，特别是其相对于最大可能相干性的归一化值。
• 计算 $ l_1 $-范数相干性的方差，并评估其在高维希尔伯特空间中的集中行为。
• 通过与相对熵相干性进行比较，探讨 $ l_1 $-范数相干性的典型性，突出其渐近行为的差异。
• 将分析扩展至 $ \alpha $-经典纯度，并根据 $ \alpha $ 的取值，展示其集中或发散的行为。

提出的方法

• 利用哈尓测度在双粒子和单-qudit 系统中采样随机纯态。
• 使用三种距离度量——保真度、迹距离和布雷斯距离——量化与最大纠缠态的距离。
• 通过在状态对角部分的特征值的狄利克雷分布上积分，推导 $ l_1 $-范数相干性的期望值与方差。
• 应用列维引理，在大 $ N $ 极限下建立归一化 $ l_1 $-范数相干性围绕 $ \pi/4 $ 的测度集中性。
• 计算 $ \alpha $-经典纯度 $ \mathbb{E}[\mathrm{Tr}((\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha)] $ 及其方差，以确定 $ \alpha \in (0,1) \cup (1,\infty) $ 时的集中行为。
• 利用伽马函数恒等式和狄利克雷分布的性质，计算纯态对角分量的矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同距离度量下，哈尓随机双粒子纯态与最大纠缠态集合之间的平均距离是多少？
• RQ2 当随机纯态的 $ l_1 $-范数相干性按其最大可能值归一化后，是否集中在某个固定值？
• RQ3 在高维希尔伯特空间中，$ l_1 $-范数相干性的方差行为如何？这对其典型性有何含义？
• RQ4 在大 $ N $ 极限下，$ l_1 $-范数相干性的典型行为与相对熵相干性的典型行为相比有何不同？
• RQ5 当维度 $ N \to \infty $ 时，随机纯态的 $ \alpha $-经典纯度是否集中？如果是，对哪些 $ \alpha $ 值成立？

主要发现

• 在大希尔伯特空间极限下，哈尓随机双粒子纯态与最大纠缠态集合之间的平均距离保持非零，表明这些态在这些距离度量下并非渐近不可区分。
• 归一化 $ l_1 $-范数相干性的期望值为 $ \mathbb{E}[C_{l_1}(\psi)/C^{\max}_{l_1}] = \pi/4 \approx 0.785 $，严格小于 1，表明典型态并非最大相干。
• 随着维度 $ N \to \infty $，$ l_1 $-范数相干性的方差趋于零，意味着归一化 $ l_1 $-范数相干性集中在 $ \pi/4 $ 附近，通过测度集中原理展示了典型性。
• 当 $ \alpha > 1 $ 时，$ \alpha $-经典纯度 $ \mathrm{Tr}[(\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha] $ 随着 $ N \to \infty $ 而集中于零，这是由于该量的方差趋于零。
• 当 $ \alpha \in (0,1) $ 时，$ \alpha $-经典纯度的方差随着 $ N \to \infty $ 而发散，表明在此参数范围内不存在测度集中。
• 相对熵相干性在大 $ N $ 极限下渐近趋于 1，与 $ l_1 $-范数的 $ \pi/4 $ 缩放形成对比，凸显了不同相干性度量在典型性行为上的根本差异。