[论文解读] Averages of character sums

Jonathan Bober|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了狄利克雷特征和的傅里叶展开的短截断能准确逼近其在小区间上的平均值，从而为特征和的大小提供了新界。关键结果表明，对无穷多个特征，长度为 $ o(q) $ 的特征和可达到 $ \gg q^{1/2}\log\log q $，在平均情形下优于波利亞–維诺格拉多夫界，并证实了对大最小非剩余的预期。

ABSTRACT

We show that a short truncation of the Fourier expansion for a character sum gives a good approximation for the average value of that character sum over an interval. We give a few applications of this result. One is that for any $b$ there are infinitely many characters for which the sum up to $\approx aq/b$ is $\gg q^{1/2} \log \log q$ for all $a$ relatively prime to $b$; another is that if the least quadratic nonresidue modulo $q \equiv 3 \pmod 4$ is large, then the character sum gets as large as $(\sqrt{q}/π) (L(1, χ) + \log 2 - ε)$, and if $B$ is this nonresidue, then there is a sum of length $q/B$ which has size $(\sqrt{q}/π) (\log 2 - ε)$.

研究动机与目标

• 理解特征和在短区间上的平均行为，特别是当点态界如波利亞–維诺格拉多夫界不足以适用时。
• 通过证明短截断足以逼近平均值，克服长傅里叶展开对点态逼近的依赖这一障碍。
• 建立存在特征，使得其长度为 $ o(q) $ 的特征和大小达到 $ \gg q^{1/2}\log\log q $，特别是对偶特征和最小非剩余较大的特征。
• 分析最小二次非剩余较大的奇二次特征的行为，表明其和可超过中心值 $ \gg q^{1/2} $。

提出的方法

• 使用特征和 $ S_\chi(x) $ 的截断傅里叶展开，表明在宽度 $ \sim 1/B $ 的区间上平均可捕捉主项，误差为 $ O(q^{1/2}) $。
• 应用积分公式 $ \frac{B}{2}\int_{\alpha-1/B}^{\alpha+1/B} S_\chi(tq) dt = A(\chi) + \frac{\tau(\chi)}{i\pi} \sum_{n<B} \frac{\overline{\chi}(n)}{n} f(2\pi n\alpha) + O(q^{1/2}) $，其中 $ f(x) $ 依赖于 $ \chi $ 的奇偶性。
• 利用 $ n \geq B $ 的振荡项在短区间上平均后贡献减小至 $ O(1) $，而前 $ B $ 项的和占主导地位。
• 使用光滑性估计和特征和界，表明当 $ B $ 足够大时，将和中 $ \chi(n) $ 替换为 1 在 $ n \leq AB $ 范围内引入可忽略误差。
• 在黎曼假设下控制奇特征的 $ L(1,\chi) $，确保 $ A(\chi) $ 较小，从而使和保持较大。
• 使用预示特征框架解释那些模仿小导子特征的特征，从而合理化构造大和的过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管点态逼近效果差，特征和的傅里叶展开的短截断能否准确逼近其在小区间上的平均值？
• RQ2 是否存在无穷多个本原偶特征，其阶可任意大，使得长度为 $ o(q) $ 的特征和达到 $ \gg q^{1/2}\log\log q $？
• RQ3 当最小二次非剩余 $ B $ 较大时，特征和会发生什么变化？这是否会导致在长度 $ \ll q $ 时出现大和？
• RQ4 能否使用佩利型构造在长度接近 $ q/4 $（而非恰好 $ q/4 $）时产生大小为 $ \gg q^{1/2}\log\log q $ 的特征和？
• RQ5 当 $ \chi(n) = 1 $ 对所有 $ n < B $ 成立时，特征和在 $ t = 1/2 $ 附近的短区间上的平均行为如何？这对和的大小有何含义？

主要发现

• 对任意 $ b > 0 $，存在无穷多个模 $ q $ 的本原偶特征，其阶可任意大，使得对某个满足 $ |\alpha - a/b| \ll 1/\log q $ 的 $ \alpha $，有 $ |S_\chi(\alpha q) - A(\chi)| \gg \frac{\sqrt{q}}{\pi\sqrt{b}} \log\log q $。
• 当 $ A < \frac{e^\gamma}{\sqrt{3}} $ 时，存在无穷多个模 $ q $ 的偶特征，使得某个长度 $ \leq q/\log^A q $ 的和满足 $ \left| \sum_{q/3 \leq n \leq q/3 + N} \chi(n) \right| \geq \left( \frac{e^\gamma}{\pi\sqrt{3}} - \frac{A}{\pi} \right) q^{1/2} \log\log q $。
• 当最小二次非剩余 $ B \to \infty $ 时，存在 $ t_\chi \in [1/2 - 1/B, 1/2] $，使得 $ S_\chi(q t_\chi) - S_\chi(q/2) \gg \frac{\log 2}{\pi} q^{1/2} $，表明和超过中心值一个常数因子。
• 对最小非剩余较大的奇特征，$ S_\chi(tq) $ 在 $ t \in [1/2 - 1/B, 1/2 + 1/B] $ 上的平均值良好地近似为 $ \frac{\sqrt{q}}{\pi} \left( L(1,\chi) + \log 2 \right) $，且当 $ L(1,\chi) $ 较大时，该平均值超过中心值 $ \gg q^{1/2} $。
• 该方法表明，若能改进长度为 $ o(q) $ 的波利亞–維诺格拉多夫界，将意味着对所有长度 $ O(q) $ 的改进，特别是对偶特征。
• 通过构造与相反奇偶性的小导子特征相似的特征，可得到长度 $ \ll q $ 时大小为 $ \gg q^{1/2}\log\log q $ 的特征和，从而证实了启发式预期。