[论文解读] Averaging principle for a class of stochastic differential equations

Wei Liu, Xiaobin Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文建立了随机微分方程在慢-快时间尺度下的平均化原理，其中漂移系数满足局部利普希茨条件，并依赖于时间和样本路径。通过采用时间离散化和截断技术，证明了慢分量强收敛于平均方程的解，将平均化结果扩展至非全局利普希茨假设的情形。

ABSTRACT

This paper is devoted to studying the averaging principle for stochastic differential equations with slow and fast time-scales, where the drift coefficients satisfy local Lipschitz conditions with respect to the slow and fast variables, and the coefficients in the slow equation depend on time $t$ and $\omega$. Making use of the techniques of time discretization and truncation, we prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation.

研究动机与目标

• 将平均化原理扩展至漂移系数为局部利普希茨的慢-快分量随机微分方程。
• 解决慢方程中系数依赖于时间 $t$ 和样本路径 $\omega$ 所带来的挑战。
• 在弱化正则性条件下，建立慢分量强收敛于平均方程解的结果。

提出的方法

• 应用时间离散化以近似连续时间随机过程，并处理慢-快分离问题。
• 使用截断技术控制解的增长，确保在局部利普希茨条件下的稳定性。
• 通过将慢分量的行为与平均方程的解进行比较，分析其随时间的演化。
• 通过原过程与平均过程之间差异的估计建立收敛性。
• 通过细致的路径式和概率论论证，处理系数对 $t$ 和 $\omega$ 的依赖性。
• 利用局部利普希茨性质控制增量，确保强收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均化原理能否扩展至慢变量与快变量的漂移系数均为局部利普希茨的随机微分方程？
• RQ2 慢方程系数对时间 $t$ 和样本路径 $\omega$ 的依赖性如何影响平均化极限？
• RQ3 当不满足全局利普希茨条件时，需要何种技术来证明强收敛性？
• RQ4 时间离散化与截断在多大程度上能保持平均化原理的收敛性质？
• RQ5 在这些弱化条件下，慢分量的解是否强收敛于平均方程的解？

主要发现

• 随机微分方程的慢分量强收敛于相应平均方程的解。
• 收敛性在局部利普希茨条件下得到证明，该条件推广了标准的全局利普希茨假设。
• 时间离散化使得在离散时间区间内分析慢分量的动力学成为可能，从而促进收敛性证明。
• 截断技术有效控制了解的增长，并在缺乏全局利普希茨界的情况下维持稳定性。
• 该方法成功处理了系数对时间 $t$ 和样本路径 $\omega$ 的依赖性，确保了平均化原理的鲁棒性。
• 结果证实了平均化原理在比以往更广泛的一类随机系统中依然成立。