[论文解读] Axiomatization of Mechanics

T. F. Kamalov|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文通过引入高阶导数动力学和马赫原理，提出了一套统一的物理学公理化框架，以调和经典、量子与相对论力学。它推导出包含高阶导数的广义欧拉-拉格朗日方程，并表明这些项作为非局域隐变量，能以最大 √2 的违反程度重现贝尔不等式中的量子关联。

ABSTRACT

The problem of axiomatization of physics formulated by Hilbert as early as 1900 and known as the Sixth Problem of Hilbert is nowadays even more topical than at the moment of its formulation. Axiomatic inconsistency of classic, quantum, and geometrized relativistic physics of the general relativistic theory does not in the least fade away, but on the contrary, becomes more pronounced each year. This naturally evokes the following questions: 1. Is it possible, without drastically changing the mathematics apparatus, to set up the axiomatics of physics so as to transform physics, being presently a multitude of unmatched theories with inconsistent axiomatics, into an integrated science? 2. Is it possible, maybe through expanding their scopes, to generalize of transform the existing axiomatics into an integral system of axioms in such a manner that existing axiomatics of inconsistent theories would follow there from as a particular case?

研究动机与目标

• 解决经典、量子与相对论物理之间长期存在的公理体系不一致问题。
• 在不进行激进数学重构的前提下，将现有物理理论推广为单一、统一的公理化体系。
• 在保持一致性和解释力的前提下，最小化公理数量。
• 表明动力学中的高阶导数项可作为解释量子非局域性的非局域隐变量。
• 建立基于观测者依赖的惯性状态与马赫原理中大尺度结构依赖性的运动学原理。

提出的方法

• 引入一种由高阶导数构成的微分方程定义的广义运动学状态：F(x, ˙x, ̈x, ..., ˙x^(n)) = 0。
• 提出运动学原理：自由物体的运动是观测者依赖的，其状态在相互作用改变前保持不变，恒定的高阶导数定义惯性行为。
• 利用变分法引入高阶导数，推导出在真实（非惯性）参考系中适用的广义欧拉-拉格朗日方程：∑_{n=0}^{N} (-1)^n d^n/dt^n (∂L/∂˙x^(n)) = 0。
• 在弯曲空间中应用协变导数，将形式体系推广至非惯性与相对论性情形，使用 D^(k) 算子表示高阶时间导数。
• 通过随机度量 h_{ik} 建模随机的引力/惯性场，假设其在时空上均匀分布。
• 计算弱引力场中极化矢量的相关函数，得出 |M| = |cosθ|，并推导出贝尔可观测量 S，其最大值为 √2。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过高阶导数动力学与马赫原理，构建一个统一的公理化体系，以涵盖经典、量子与相对论力学？
• RQ2 拉格朗日量中的高阶导数项是否可作为解释量子纠缠的非局域隐变量？
• RQ3 自由物体的运动学状态是否真正依赖于观测者，如马赫原理与高阶导数不变量所暗示的那样？
• RQ4 在真实（非惯性）参考系中，广义欧拉-拉格朗日方程是否能作为极限情况重现已知物理定律？
• RQ5 引力场的随机曲率模型是否能产生与贝尔不等式一致的类量子关联？

主要发现

• 具有高阶导数的系统的广义欧拉-拉格朗日方程为 ∑_{n=0}^{N} (-1)^n d^n/dt^n (∂L/∂˙x^(n)) = 0，适用于真实（非惯性）参考系。
• 在惯性系中，高阶导数项消失，该形式体系退化为标准牛顿力学或拉格朗日力学。
• 在随机曲率空间中，极化矢量之间的关联为 |M| = |cosθ|，与量子力学预测一致。
• 当偏振片之间夹角设为 π/4 时，贝尔可观测量 S 的最大值达到 √2，证实了量子非局域性。
• 拉格朗日量中的高阶导数项作为非局域隐变量，使无需引入非局域性假定即可解释量子纠缠成为可能。
• 该模型在使用随机度量与马赫原理的类经典变分框架下，重现了量子力学结果，包括贝尔关联。