[论文解读] Backward propagation of chaos

Mathieu Laurière, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文建立了弱耦合粒子系统在混沌终值条件下后向传播混沌的理论，通过麦凯恩-弗拉斯科夫后向随机微分方程（BSDE）建模。在标准利普希茨连续与可积性条件下，推导了经验测度向极限麦凯恩-弗拉斯科夫BSDE分布收敛的非渐近收敛速率（Wasserstein距离下），并给出了与维度无关的集中不等式，从而实现对Wasserstein空间上PDE的粒子基近似。

ABSTRACT

This paper develops a theory of propagation of chaos for a system of weakly interacting particles whose terminal configuration is fixed as opposed to the initial configuration as customary. Such systems are modeled by backward stochastic differential equations. Under standard assumptions on the coefficients of the equations, we prove propagation of chaos results and quantitative estimates on the rate of convergence in Wasserstein distance of the empirical measure of the interacting system to the law of a McKean-Vlasov type equation. These results are accompanied by non-asymptotic concentration inequalities. As an application, we derive rate of convergence results for solutions of second order semilinear partial differential equations to the solution of a partial differential written on an infinite dimensional space.

研究动机与目标

• 将经典的混沌传播理论扩展至终端配置为混沌而非初始配置的系统。
• 建立n粒子系统经验测度向麦凯恩-弗拉斯科夫BSDE解收敛的Wasserstein距离下非渐近收敛速率。
• 为相互作用粒子系统的收敛性推导非渐近集中不等式，部分为与维度无关的形式。
• 将结果应用于通过有限维粒子系统近似无限维Wasserstein空间上的二阶半线性PDE解。
• 为利用后向随机表示与粒子系统极限近似PDE提供概率框架。

提出的方法

• 通过依赖于系统经验分布的后向随机微分方程（BSDE）建模相互作用粒子。
• 应用适配于BSDE的斯尼特曼耦合技术，结合BSDE先验估计与测度集中分析方法。
• 对粒子过程平方差应用伊藤公式，并运用杨不等式与格朗沃尔不等式控制误差传播。
• 建立n粒子系统经验测度与麦凯恩-弗拉斯科夫极限分布之间Wasserstein距离的界。
• 利用PDE的概率表示公式，特别是Chassagneux等人提出的结果，将BSDE收敛性与PDE近似联系起来。
• 基于Bartl与Tangpi的结果，推导出与维度无关的集中不等式，增强收敛界鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱耦合粒子系统中，混沌是否能从混沌的终端配置向后传播至时间起点？
• RQ2 此类系统经验测度向麦凯恩-弗拉斯科夫BSDE解收敛的非渐近收敛速率为何？
• RQ3 能否为相互作用后向粒子系统的收敛性推导集中不等式，尤其是与维度无关的不等式？
• RQ4 后向混沌传播如何用于近似无限维Wasserstein空间上半线性PDE的解？
• RQ5 收敛速率与集中界在多大程度上依赖于状态空间的维度或粒子数量？

主要发现

• n粒子系统经验测度以速率 $ C_{L_{F},T} imes ilde{ ho}_n $ 收敛至麦凯恩-弗拉斯科夫BSDE的分布，其中 $ ilde{ ho}_n $ 衡量初始混沌程度，且依赖于 $ n $。
• 为过程与经验测度均推导出Wasserstein距离下的非渐近收敛速率，明确依赖于利普希茨常数与时间跨度。
• 为经验测度收敛性建立了与维度无关的集中不等式，依赖于BSDE的泛函不等式。
• 粒子系统值函数向Wasserstein空间上PDE解的收敛速率被界为 $ C_{L_{F},T} ( ho_n + r_{n,d,k,2}) $，其中 $ r_{n,d,k,2} $ 捕获经验测度中的抽样误差。
• 通过基于泛函不等式的新型方法，本研究恢复并强化了先前关于后向相互作用粒子系统收敛速率的研究成果，包括Buckdahn等人与Hu等人之工作。
• 该框架使得通过有限维PDE近似无限维Wasserstein空间上二阶半线性PDE解成为可能，借助概率表示公式实现。