[论文解读] Balanced Truncation Model Reduction for Lifted Nonlinear Systems

Boris Kramer, Karen Willcox|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对具有时变和不确定输入的非线性系统的平衡截断模型降阶方法，首先通过辅助变量将系统升维为二次-双线性（QB）形式。该方法通过引入人工稳定化处理升维系统矩阵中的零特征值问题，实现了高效的平衡截断，其在训练数据欠佳时的精度优于POD-DEIM，如在管式反应器模型上的验证所示。

ABSTRACT

We present a balanced truncation model reduction approach for a class of nonlinear systems with time-varying and uncertain inputs. First, our approach brings the nonlinear system into quadratic-bilinear~(QB) form via a process called lifting, which introduces transformations via auxiliary variables to achieve the specified model form. Second, we extend a recently developed QB balanced truncation method to be applicable to such lifted QB systems that share the common feature of having a system matrix with zero eigenvalues. We illustrate this framework and the multi-stage lifting transformation on a tubular reactor model. In the numerical results we show that our proposed approach can obtain reduced-order models that are more accurate than proper orthogonal decomposition reduced-order models in situations where the latter are sensitive to the choice of training data.

研究动机与目标

• 解决在训练数据选择不佳或不可用时，本征正交分解（POD）在非线性模型降阶中的局限性。
• 为具有时变和不确定输入的非线性系统开发一种不依赖于基于轨迹的训练数据的模型降阶框架。
• 通过使用状态无关的Gramian矩阵，克服大规模非线性系统中状态相关平衡变换的计算不可行性。
• 实现对具有零特征值系统矩阵的升维二次-双线性系统进行平衡截断，这是升维变换中常见的问题。
• 提供一种计算高效的降阶方法，仅在原始系统维数上执行矩阵运算，而非升维后的维数。

提出的方法

• 应用多阶段升维变换，将一般非线性系统通过辅助变量转换为二次-双线性（QB）形式。
• 引入人工稳定化参数，以处理升维系统矩阵中零特征值引起的不稳定性。
• 将基于截断Gramian的QB系统平衡截断方法适配至升维框架，确保计算效率。
• 利用升维变量的定义，推导出一种变换，使平衡过程在原始系统维数上实现，避免高维计算。
• 通过升维QB系统的截断Gramian，构建降阶模型（ROMs）。
• 通过在原始系统维数上执行所有昂贵的矩阵运算，而非在升维空间中，确保方法的计算可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制方程已知时，能否有效将平衡截断应用于具有时变和不确定输入的非线性系统？
• RQ2 如何利用升维过程将一般非线性系统转换为QB形式，同时保持其结构特性？
• RQ3 对具有零特征值系统矩阵的升维QB系统应用平衡截断，需要进行哪些修改？
• RQ4 当训练数据存在噪声或选择不佳时，所提方法能否在精度上优于POD-DEIM？
• RQ5 所引入的人工稳定化参数是否能保持降阶模型的精度与稳定性？

主要发现

• 所提出的QB-平衡截断（QB-BT）方法在训练数据欠佳或存在噪声时，始终产生比POD-DEIM模型更精确的降阶模型。
• 在案例1中，当快照存在噪声时，QB-BT ROM在r=4时的输出误差为6.51×10⁻⁴，而POD-DEIM的误差为1.47×10⁻³，实现两个数量级的改进。
• 在案例4中，训练与预测的初始条件不同，QB-BT ROM在r=20时的输出误差为3.66×10⁻⁴，优于POD-DEIM的4.38×10⁻⁴，尽管两者在幅值预测上均表现不佳。
• QB-BT方法在各种输入场景下表现出鲁棒性，包括恒定、振荡和衰减输入，且误差性能保持一致。
• 通过在原始系统维数上执行所有矩阵运算，该方法保持了计算效率，避免了在升维空间中计算的高昂开销。
• 数值结果证实，QB-BT在POD-DEIM对训练数据质量敏感的场景下具有显著优势，使其成为实际工程应用中更具可靠性的替代方案。