[论文解读] Band-Limited Gaussian Processes: The Sinc Kernel

Felipe Tobar|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新型高斯过程（GP）协方差核——sinc核，通过将功率谱密度（PSD）建模为矩形函数，确保样本路径为带限信号。通过该紧凑支撑PSD的逆傅里叶变换，核函数导出基于sinc的协方差函数，从而在香农-奈奎斯特定理下实现精确的贝叶斯重建，并在存在噪声或缺失数据的情况下，于立体声解调和带通滤波任务中表现出鲁棒性能。

ABSTRACT

We propose a novel class of Gaussian processes (GPs) whose spectra have compact support, meaning that their sample trajectories are almost-surely band limited. As a complement to the growing literature on spectral design of covariance kernels, the core of our proposal is to model power spectral densities through a rectangular function, which results in a kernel based on the sinc function with straightforward extensions to non-centred (around zero frequency) and frequency-varying cases. In addition to its use in regression, the relationship between the sinc kernel and the classic theory is illuminated, in particular, the Shannon-Nyquist theorem is interpreted as posterior reconstruction under the proposed kernel. Additionally, we show that the sinc kernel is instrumental in two fundamental signal processing applications: first, in stereo amplitude modulation, where the non-centred sinc kernel arises naturally. Second, for band-pass filtering, where the proposed kernel allows for a Bayesian treatment that is robust to observation noise and missing data. The developed theory is complemented with illustrative graphic examples and validated experimentally using real-world data.

研究动机与目标

• 开发一类新的高斯过程，其样本路径通过强制谱支撑紧凑而近乎必然带限。
• 通过直接从矩形功率谱密度的傅里叶逆变换构造核函数，弥合谱估计理论与高斯过程建模之间的鸿沟。
• 展示sinc核在经典信号处理任务中的实用性，如立体声振幅解调和存在噪声或缺失观测时的带通滤波。
• 通过真实世界信号（包括音频和二氧化碳浓度数据）的数值实验，验证sinc核的理论性质。
• 将框架扩展至非中心化和频率可变情形，并提出一种广义sinc核以支持基于混合模型的建模。

提出的方法

• 将功率谱密度（PSD）定义为以±ξ₀为中心、宽度为Δ、总功率为σ²的对称矩形函数，确保谱支撑紧凑。
• 对矩形PSD应用逆傅里叶变换，推导出基于sinc的协方差核：K(t) = σ²/Δ × sinc(Δt) × cos(2πξ₀t)。
• 通过允许中心ξ₀和宽度Δ变化，将核函数扩展至非中心化和频率可变情形，从而实现对调制信号的建模。
• 将GP后验均值解释为在sinc核下的香农-惠特克采样定理重建，建立贝叶斯推断与香农-惠特克采样定理之间的联系。
• 通过在奈奎斯特间隔处放置的诱导点实现稀疏GP近似，降低计算成本，同时保持谱保真度。
• 使用广义sinc核（GSK）作为多个sinc核的混合，以建模复杂且多带谱结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种高斯过程，使其样本路径在设计上近乎必然带限？
• RQ2 sinc核GP的后验均值与经典香农-奈奎斯特采样定理有何关系？
• RQ3 sinc核能否在立体声振幅解调中有效应用？与现有GP模型相比表现如何？
• RQ4 在非均匀采样时间序列中，sinc核能否在存在噪声或缺失观测时实现鲁棒的带通滤波？
• RQ5 基于奈奎斯特稀疏近似的广义sinc核（sinc之和）在建模多带信号时表现如何，尤其是在使用稀疏诱导点的情况下？

主要发现

• sinc核生成的样本路径近乎必然带限，这由其功率谱密度的紧凑支撑所保证。
• 在sinc核下，后验均值重建与香农-奈奎斯特采样重建完全一致，验证了其理论一致性。
• 在音频信号重建中，GP-sinc相较于GP-SM和样条方法表现更优，归因于其矩形PSD可实现陡峭的谱跃迁。
• 在心率信号解调中，GP-sinc在采样频率高于0.06时实现了稳定的重建性能，与奈奎斯特率预测一致。
• 在冒纳洛亚火山CO2数据的带通滤波中，GP-sinc成功从非均匀采样观测中分离出1年周期分量，采样率约为3.3次/年，高于奈奎斯特率。
• 采用基于奈奎斯特的稀疏近似的广义sinc核，仅使用N=600个观测中的M=54个诱导点，即实现了高精度重建，展现出计算效率。