[论文解读] Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras

Luc Menichi|ArXiv.org|Nov 17, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文证明了带有对合模对 $(\chi,1)$ 的霍普夫代数的循环上同调构成一个度数为 $-2$ 的分次李代数，且其霍赫希尔德上同调是一个巴蒂林-维利科夫斯基（BV）代数。本文引入了‘带乘法的循环操作代数’的概念——即其上同调为BV代数、其循环上同调为度数 $-2$ 的分次李代数的余单纯模。关键贡献是通过康奈斯余边界映射 $B$，建立了一个将带乘法的循环操作代数与BV代数及分次李代数相联系的一般框架，统一了霍普夫代数上同调与对称代数霍赫希尔德上同调中的已知结果。

ABSTRACT

We show that the Connes-Moscovici cyclic cohomology of a Hopf algebra equipped with a character has a Lie bracket of degree -2. More generally, we show that a "cyclic operad with multiplication" is a cocyclic module whose cohomology is a Batalin-Vilkovisky algebra and whose cyclic cohomology is a graded Lie algebra of degree -2. This explain why the Hochschild cohomology algebra of a symmetric algebra is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究动机与目标

• 建立一个将带乘法的循环操作代数与巴蒂林-维利科夫斯基代数及分次李代数相联系的一般框架。
• 证明带有对合模对 $(\chi,1)$ 的霍普夫代数的康奈斯-莫斯科维茨循环上同调是一个度数为 $-2$ 的分次李代数。
• 通过带乘法的循环操作代数的结构，证明对称代数的霍赫希尔德上同调是一个巴蒂林-维利科夫斯基代数。
• 利用范畴论与同调代数工具，统一并推广霍赫希尔德上同调与循环上同调中已知的BV结构结果。

提出的方法

• 引入‘带乘法的循环操作代数’的概念——即带有乘法结构的余单纯模，其诱导出格伦斯坦哈伯代数结构。
• 为该操作代数定义归一化链复形 $\overline{\mathcal{C}}^{*}(O)$，并分析其微分 $d$、余边界 $B$、上 Cup 乘积 $\cup$ 与复合乘积 $\overline{\circ}$。
• 证明存在一个度数为 $-1$ 的双线性映射 $Z$，满足对任意 $f \in \overline{\mathcal{C}}^{m}(O), g \in \overline{\mathcal{C}}^{n}(O)$，有 $B(f \cup g) = Z(f,g) + (-1)^{mn}Z(g,f)$。
• 建立一个度数为 $-2$ 的双线性映射 $H$，满足涉及 $d$、$B$、$Z$ 以及 Cup 乘积与复合乘积的同伦关系。
• 利用混合复形的康奈斯长正合列，通过连接同态 $\partial$ 与映射 $I$ 在循环上同调上定义李括号。
• 将该框架应用于霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 的对偶构造 $\Omega\mathcal{H}$，证明其为一个带乘法的循环操作代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从霍普夫代数的循环上同调结构推导出其上同调的巴蒂林-维利科夫斯基代数结构？
• RQ2 操作代数的何种代数结构可确保其上同调为BV代数，且其循环上同调为度数 $-2$ 的分次李代数？
• RQ3 为何对称代数的霍赫希尔德上同调具有巴蒂林-维利科夫斯基代数结构？其与康奈斯-莫斯科维茨循环上同调有何关联？
• RQ4 余单纯模上的 Cup-余单纯结构与其关联链复形的范畴结构之间有何关系？

主要发现

• 带有对合模对 $(\chi,1)$ 的霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 的循环上同调 $HC^{*}_{(\chi,1)}(\mathcal{H})$ 是一个度数为 $-2$ 的分次李代数。
• 当 $\mathcal{H}$ 是带有对合模对 $(\chi,1)$ 的霍普夫代数时，余托尔代数 $\text{Cotor}^{*}_{\mathcal{H}}(\Bbbk,\Bbbk)$ 是一个巴蒂林-维利科夫斯基代数。
• 带乘法的循环操作代数的归一化链复形具有通过康奈斯余边界映射 $B$ 构造的巴蒂林-维利科夫斯基代数结构。
• 带乘法的循环操作代数的循环上同调通过康奈斯长正合列与连接同态 $\partial$ 继承了度数为 $-2$ 的分次李代数结构。
• 对称代数的自同态操作代数是一个带乘法的循环操作代数，从而解释了为何其霍赫希尔德上同调是巴蒂林-维利科夫斯基代数。
• 该结果通过提供一个共同的范畴论框架，统一并推广了此前关于霍赫希尔德与循环上同调中BV结构的研究成果，包括特拉德勒与麦克卢尔-史密斯的结果。