[论文解读] Bending Fuchsian representations of fundamental groups of cusped surfaces in PU(2,1)

Pierre Will|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Geometric and Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文通过沿曲面的理想三角剖分进行弯曲过程，引入了一类新的离散、忠实且保持类型的fundamental group到PU(2,1)的表示，适用于带有尖点的曲面。利用Teichmüller空间上的类似剪切的坐标系，作者构建了Teichmüller空间到PU(2,1)-表示簇的一个1-参数族嵌入，推广了此前针对1个穿孔环面的结果，并提供了新的零托莱多不变量表示的例子。

ABSTRACT

We describe a family of representations of $π_1(Σ)$ in PU(2,1), where $Σ$ is a hyperbolic Riemann surface with at least one deleted point. This family is obtained by a bending process associated to an ideal triangulation of $Σ$. We give an explicit description of this family by describing a coordinates system in the spirit of shear coordinates on the Teichmüller space. We identify within this family new examples of discrete, faithful and type-preserving representations of $π_1(Σ)$. In turn, we obtain a 1-parameter family of embeddings of the Teichmüller space of $Σ$ in the PU(2,1)-representation variety of $π_1(Σ)$. These results generalise to arbitrary $Σ$ the results obtained in a previous paper for the 1-punctured torus.

研究动机与目标

• 构建带有尖点的曲面fundamental group在PU(2,1)中的新一族离散、忠实且保持类型的表示。
• 将此前仅适用于1个穿孔环面的弯曲构造推广到至少有一个穿孔的任意带有尖点的曲面。
• 在Teichmüller空间中，提供一种类似剪切坐标系的显式坐标系统，用于描述这些表示。
• 确定弯曲过程产生离散且忠实表示的条件，特别关注托莱多不变量。

提出的方法

• 作者在带有尖点的曲面的理想三角剖分上使用弯曲过程，通过修改边周围单值性，将一个Fuchsian表示变形为PU(2,1)中的表示。
• 他们基于边装饰（类似剪切参数）和弯曲角定义了一个坐标系，推广了Teichmüller理论中的剪切坐标。
• 该构造依赖于曲面存在双色三角剖分，这使得弯曲参数的一致分配成为可能，并确保所得表示属于PU(2,1)。
• 表示通过复反射和复双曲空间中相邻理想实三角形相关等距变换的复合来定义。
• 托莱多不变量被计算为所有弯曲理想三角形的Cartan不变量之和的两倍，且对所有此类表示均证明其为零。
• 利用脊椎R-曲面技术及实拉格朗日子群的性质，确立了表示的离散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将此前仅用于1个穿孔环面的弯曲构造推广到更高亏格和多个穿孔的任意带有尖点的曲面？
• RQ2 可采用何种坐标系来参数化表示簇中的这些结果表示？
• RQ3 在何种条件下，弯曲过程会产生PU(2,1)中的离散且忠实表示？
• RQ4 所得表示的托莱多不变量是多少，它与弯曲三角形的几何有何关联？
• RQ5 该构造如何将曲面的Teichmüller空间嵌入PU(2,1)-表示簇中？

主要发现

• 作者通过沿理想三角剖分的弯曲过程，构造了带有尖点的曲面fundamental group在PU(2,1)中的1-参数族离散、忠实且保持类型的表示。
• 结果表示的托莱多不变量为零，推广了已知的1个穿孔环面结果。
• 在表示簇中显式定义了一个类似于Teichmüller空间上剪切坐标的坐标系，用于参数化这些弯曲表示族。
• 该构造产生了一个1-参数族，将曲面的Teichmüller空间嵌入PU(2,1)-表示簇中。
• 当所有边装饰设为1且所有弯曲角相等时，所得群共轭于Falbel和Koseleff研究的族中的群，其离散性通过对称性和反射群分析得到确认。
• 该方法提供了一种系统化方式，生成PU(2,1)中超越标准Fuchsian表示和复双曲曲面群表示的新离散且忠实表示的例子。