[论文解读] Bergman kernels and equilibrium measures for ample line bundles

Robert J. Berman|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Geometry and complex manifolds被引用 24

一句话总结

本文研究了在紧复流形上，对于全纯线丛配备一般光滑Hermitian度量时，Bergman核的渐近行为，证明了三种自然测度（平衡测度、Bergman函数和k阶Bergman体积形式）收敛于同一极限，该极限涉及平衡度量与曲率形式。关键结果为：Bergman核渐近行为由平衡度量决定，在平衡度量与原始度量一致的集合之外呈现指数衰减，且当曲率为正时，在该集合内部存在完整的局部展开式。

ABSTRACT

Let L be an ample holomorphic line bundle over a compact complex Hermitian manifold X. Any fixed smooth Hermitian metric on L induces a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections with values in the k:th tensor power of L. In this paper various convergence results are obtained for the corresponding Bergman kernels. The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the equilibrium metric associated to the fixed metric, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of the fixed metric itself on a certain support set. It is also shown that the equilibrium metric has Lipschitz continuous first derivatives. These results can be seen as generalizations of well-known results concerning the case when the curvature of the fixed metric is positive (the corresponding equilibrium metric is then simply the fixed metric itself).

研究动机与目标

• 将已知的Bergman核渐近结果从正曲率情形推广至全纯线丛上的一般光滑Hermitian度量。
• 以平衡度量和原始度量的曲率形式为基准，刻画Bergman函数及其相关测度在k趋于无穷时的极限行为。
• 建立平衡度量φₑ的C^{1,1}-正则性，该结果在复Monge-Ampère理论中具有独立意义。
• 通过限制在平衡度量与原始度量一致的集合上，将Tian-Zelditch-Catlin展开推广至非正曲率情形。
• 将框架适配至在固定除子上消失的截面，以建模具有负曲率的奇异度量。

提出的方法

• 将平衡度量φₑ定义为复Monge-Ampère方程次解上包络，捕捉最大曲率正则化度量。
• 利用固定度量φ与体积形式ωₙ在H⁰(X, Lᵏ)上诱导的Hilbert空间结构，将Bergman核Kₖ(x,y)定义为正交投影核。
• 分析Bergman函数Bₖ(x) = Kₖ(x,x)e^{-kφ}在k趋于无穷时的渐近行为，证明其收敛于D集合上涉及(ddᶜφₑ)ⁿ/n!的测度，其中D为φₑ = φ的集合。
• 通过受Bedford-Taylor及复Monge-Ampère方程边界值问题启发的技术，证明平衡度量φₑ的C¹,¹-正则性。
• 证明测度k⁻ⁿ|Kₖ(x,y)|²_{kφ}ωₙ(x)∧ωₙ(y)在X×X上的弱收敛性，其极限为Δ ∧ 1_D (ddᶜφ)ⁿ/n!，其中Δ为对角线当前。
• 将框架适配至在除子Z上消失的截面子空间，证明结果仍适用于与除子相关的奇异度量ψ = φ - ln|s|²。

实验结果

研究问题

• RQ1 当固定度量φ的曲率非正但仅为半正或不定时，Bergman核渐近行为如何？
• RQ2 Bergman函数Bₖ(x) = Kₖ(x,x)e^{-kφ}在k趋于无穷时的精确极限是什么？其与线丛和度量的几何不变量有何关系？
• RQ3 通过变分问题定义的平衡度量φₑ如何与曲率形式(ddᶜφ)ⁿ及φₑ = φ的支撑集D相关联？
• RQ4 Tian-Zelditch-Catlin在正曲率下的局部渐近展开能否推广至曲率为正但全局度量非正的点？
• RQ5 当截面需在固定除子上消失时，即引入具有负曲率的奇异度量，Bergman核渐近行为如何变化？

主要发现

• 三种测度——平衡测度(ddᶜφₑ)ⁿ/n!、k⁻ⁿBₖωₙ在k趋于无穷时的极限，以及k阶Bergman体积形式(ddᶜ(k⁻¹ln Kₖ(x,x)))ⁿ/n!——全部弱收敛于同一测度：1_D (ddᶜφ)ⁿ/n!，其中D为平衡度量φₑ等于原始度量φ的集合。
• 在集合D上，Bergman核具有渐近展开式Kₖ(x,x) = (kⁿ det(ddᶜφₑ)(x) + ...) e^{kφₑ(x)}，其中包含k的低阶项，且当ddᶜφₑ > 0时，主项与Tian-Zelditch-Catlin展开一致。
• 在D之外，Bergman函数Bₖ(x)呈指数衰减：当k → ∞时，Kₖ(x,x)e^{-kφ(x)}以指数速度趋于0。
• 平衡度量φₑ在X上具有C¹,¹-正则性，该结果在复Monge-Ampère理论中具有独立意义。
• 测度k⁻ⁿ|Kₖ(x,y)|²_{kφ}ωₙ(x)∧ωₙ(y)在X×X上的弱极限为Δ ∧ 1_D (ddᶜφ)ⁿ/n!，其中Δ为沿对角线的当前。
• 当截面在除子Z上消失时，结果可推广至奇异度量ψ = φ - ln|s|²，此时渐近行为由与ψ相关的平衡度量控制，且集合D_Z由曲率支撑的体积条件定义。