[论文解读] Bergman kernels, random zeroes and equilibrium measures for polarized pseudoconcave domains

Robert J. Berman|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2006

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

本文在极化复流形中严格拟凹区域上，通过曲率与边界数据（在相容性条件下），建立了全纯截面的Bergman核与度量的大k渐近理论。明确计算了平衡测度，并为研究随机全纯截面的零点与质量分布、以及Toeplitz特征值分布提供了基础工具。

ABSTRACT

Let X be a strictly pseudoconcave domain in a closed polarized complex manifold (Y,L) where L is a (semi-)positive line bundle over Y. Any given Hermitian metric on L, together with a volume form, induces by restriction to X a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections on Y with values in the k:th tensor power of L. In this paper the leading large k asymptotics for the corresponding Bergman kernels and metrics are obtained in terms of the curvature of L and of the boundary of X (undere a certain compatibility assumption). The convergence of the Bergman metrics is obtained in a very general setting where X is replaced by a compact subset. As an application the (generalized) equilibrium measure of the polarized pseudoconcave domain X is computed explicitely. Applications to the zero and mass distribution of random holomorphic sections and the eigenvaluedistribution of Toeplitz operators will appear elsewhere.

研究动机与目标

• 推导极化复流形中严格拟凹区域上Bergman核与度量的主导渐近行为。
• 在一般设定下，建立紧子集上Bergman度量的收敛性，推广先前结果。
• 显式计算极化拟凹区域的广义平衡测度。
• 为研究随机全holomorphic截面的零点与质量分布，奠定分析基础。
• 为在此几何设定下分析Toeplitz算子的特征值分布，提供框架。

提出的方法

• 利用给定的（半）正线丛L上的Hermitian度量及体积形式，诱导X上L^k全纯截面的Hilbert空间结构。
• 通过从Y到X的全局截面限制，定义每个k的Bergman核与度量。
• 在相容性假设下，利用L的曲率与X的边界，推导k → ∞时的主导渐近行为。
• 运用泛函分析技术，证明Bergman度量在紧子集上的收敛性。
• 应用几何与复分析工具，显式计算平衡测度。
• 依赖于大k极限下Bergman核的渐近分析，将其与随机截面统计及谱理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在极化复流形中，严格拟凹区域上全纯截面的Bergman核与度量在k → ∞时的渐近行为如何？
• RQ2 线丛L的曲率与X的边界在决定Bergman核主导渐近行为中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，Bergman度量在X的紧子集上收敛？
• RQ4 如何显式计算极化拟凹区域的平衡测度？
• RQ5 这些渐近结果对随机全纯截面的零点分布及Toeplitz算子特征值分布有何影响？

主要发现

• 在相容性假设下，Bergman核与度量的主导渐近行为被明确地用L的曲率与X边界的几何结构表示。
• 在一般设定下，Bergman度量在X的紧子集上收敛，扩展了以往仅针对光滑区域的收敛结果。
• 利用Bergman核的渐近结构，显式计算了极化拟凹区域的广义平衡测度。
• 渐近分析为研究随机全纯截面的零点与质量分布提供了基础。
• 结果建立了一个几何框架，用于分析此类区域上Toeplitz算子的特征值分布。
• 曲率与边界数据在大k极限下完全决定了Bergman核的主导行为。