[论文解读] Bergman projection induced by radial weight

José Ángel Peláez, Jouni Rättyä|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Holomorphic and Operator Theory被引用 1

一句话总结

本文刻画了单位圆盘上的径向权 ω，使得 Bergman 投影 Pω 从 L∞ 到 Bloch 空间 B 有界和/或满射，或对偶地，使得 A¹_ω 的对偶空间在 A²_ω 配对下同构于 B。本文在弱正则性条件下解决了关于 Littlewood-Paley 估计和 Pω 在 Lp_ω 上有界的长期悬而未决问题，表明所有刻画均简化为矩或尾积分 ∫_r^1 ω(t)dt 的加倍条件。

ABSTRACT

The question of when the Bergman projection $P_\omega$ induced by a radial weight $\omega$ on the unit disc is a bounded operator from one space into another is of primordial importance in the theory of Bergman spaces. The long-standing problem of describing the radial weights $\omega$ such that $P_\omega$ is bounded on the Lebesgue space $L^p_\omega$ had been known to experts since decades before it was formally posed by Dostani\'c in 2004. A natural limit case of this setting is when $P_\omega$ acts from $L^\infty$ to the Bloch space. The surjectivity of the operator becomes another relevant question in this limit case. The main findings of this study are shortly listed as follows. We establish characterizations of the radial weights $\omega$ on the unit disc such that $P_\omega:L^\infty o\mathcal{B}$ is bounded and/or acts surjectively, or the dual of $A^1_\omega$ is isomorphic to the Bloch space $\mathcal{B}$ under the $A^2_\omega$-pairing. We also solve the problem posed by Dostani\'c under a weak regularity hypothesis on the weight involved. With regard to Littlewood-Paley estimates, we describe the radial weights $\omega$ such that the norm of any function in $A^p_\omega$ is comparable to the norm in $L^p_\omega$ of its derivative times the distance from the boundary. This last-mentioned result solves another well-known problem on the area. All characterizations can be given in terms of doubling conditions on moments and/or tail integrals $\int_r^1\omega(t)\,dt$ of $\omega$, and are therefore easy to interpret. We also make substantial progress about the two weight inequality $$ \|P_\omega(f)\|_{L^p_ u}\le C\|f\|_{L^p_ u},\quad f\in L^p_ u, \quad 1<p<\infty. $$ for radial weights $\omega$ and $ u$.

研究动机与目标

• 刻画单位圆盘上的径向权 ω，使得 Bergman 投影 Pω: L∞ → B 有界。
• 确定 Pω 从 L∞ 到 Bloch 空间 B 满射的条件。
• 刻画使得 A¹_ω 的对偶空间在 A²_ω 配对下同构于 Bloch 空间的径向权。
• 解决 Dostanić 于 2004 年提出的在弱正则性条件下 Pω 在 Lp_ω 上有界的难题。
• 通过尾积分建立 Littlewood-Paley 估计在 Ap_ω 中成立的必要与充分条件。

提出的方法

• 利用 A²_ω 配对识别对偶空间，特别是将 (A¹_ω)′ 与 Bloch 空间 B 关联起来。
• 应用对偶理论，将 Pω: L∞ → B 的有界性与嵌入关系 (A¹_ω)′ ⊂ B 联系起来。
• 采用尾积分 ∫_r^1 ω(t)dt 和矩条件刻画加倍行为。
• 引入函数 Lω(x) = –log ω(x)，并分析其导数以刻画 pD 类。
• 使用积分估计和变量替换，将 Dp 条件与 Lp_ω 有界性联系起来。
• 应用引理 28 表明：ω ∈ pD 当且仅当 lim sup_x→∞ x^k |L^{(k)}_ω(x)| < ∞ 对 k = 1,2,3 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些径向权 ω，Bergman 投影 Pω: L∞ → B 有界？
• RQ2 在何种条件下 Bergman 投影 Pω: L∞ → B 满射？
• RQ3 在 A²_ω 配对下，何时 A¹_ω 的对偶空间 (A¹_ω)′ 同构于 Bloch 空间 B？
• RQ4 哪些径向权 ω 确保 Pω 在 Lp_ω 上有界（1 < p < ∞）？
• RQ5 对于哪些径向权 ω，Ap_ω 中的范数与 f'(z)(1–|z|²) 的 Lp_ω 范数可比较？

主要发现

• Pω: L∞ → B 有界当且仅当 ω 满足尾积分 ∫_r^1 ω(t)dt 的加倍条件。
• 在 A²_ω 配对下，(A¹_ω)′ 同构于 Bloch 空间 B 当且仅当 ω ∈ pD。
• 在弱正则性假设下，Pω: Lp_ω → Lp_ω 有界当且仅当 ω ∈ pD。
• Littlewood-Paley 估计 ‖f‖_Ap_ω ≍ ‖f'(z)(1–|z|²)‖_Lp_ω 成立当且仅当 ω 满足矩或尾积分的加倍条件。
• pD 类由 lim sup_x→∞ x|L′_ω(x)| < ∞ 刻画，其中 Lω(x) = –log ω(x)。
• 对于 ω ∈ pD，有 ω(x)^p ≲ ω(x)^{p+ε} 成立，这意味着对小的 ε > 0 有 ω ∈ pD，这支持了猜想：Pω: Lp_ω → Lp_ω 有界当且仅当 ω ∈ pD。