[论文解读] Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of nilpotent groups over $\Z_p$ for representations with p-small weights

Patrick Polo, Jacques Tilouine|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用 20

一句话总结

该论文在最高权 $\lambda$ 为 $p$-小（即 $\lambda \in X^+ \cap \overline{C}_p$）时，为 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上的 Weyl 模建立了弱广义 Bernstein-Gelfand-Gelfand（BGG）分解。证明了在 $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ 系数下，幂零子群 $U_P^-$ 的上同调 admits 一个滤子，其分次为李子群 $L$ 的 Weyl 模的直和，从而将 Kostant 定理推广至整 $p$-进数域设置。

ABSTRACT

We show that for $p$small highest weight $λ$, 1) there is a $\Z_p$-integral version of the Bernstein-Gelfand-Gelfand complex, still a direct summand subcomplex of the standard complex for $V(λ)$ 2) Similarly, a $\Z_p$-integral (as well as a mod. p) version of Kostant formula holds true. This paper is a companion paper to the one by Mokrane-Tilouine (AG, subm. 12/12/00), where these results are requested.

研究动机与目标

• 将原本在 $\mathbb{Q}$ 上成立的 Weyl 模与上同调的经典结果，推广至整 $p$-进数域 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 设置。
• 在 $\lambda$ 为 $p$-小时，为 $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ 建立一个弱广义 BGG 分解。
• 证明在 $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ 系数下，幂零群 $U_P^-(\mathbb{Z})$ 的同调 admits 一个滤子，其分次同构于 $L$-Weyl 模的直和。
• 在 $\mathfrak{u}_P^-$ 为交换李代数的假设下，将 BGG 复形推广至分布代数。
• 证明对于 $p$-小权，$V_\mathbb{Q}(\lambda)$ 的最小、最大及 Young 格拉姆实现代数在基域扩张至 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 后彼此同构。

提出的方法

• 通过使用广义 Verma 模 $M_{\mathfrak{p}}^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w(\lambda + \rho) - \rho)$ 作为分次项，在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上构造一个弱 BGG 分解。
• 应用一个谱序列，将幂零群 $\Gamma = U_P^-(\mathbb{Z})$ 的同调与它的关联分次李代数 $\mathrm{gr}_{\mathrm{isol}}\Gamma \cong \mathfrak{u}_P^-$ 的同调联系起来，利用 Hartley 对幂零群的定理。
• 利用 Pickel 的同构 $H_*(\mathfrak{u}_P^-, V_{\mathbb{Q}}(\lambda)) \cong H_*(\Gamma, V_{\mathbb{Q}}(\lambda))$，将结果提升至整上同调。
• 发展一个具有幂零滤子的模系数的同调谱序列，代数化地推广 Cenkl 与 Porter 的上同调谱序列代数。
• 为分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ 与 $\mathrm{Dist}(P)$ 建立一个 BGG 型复形，使用 $\Lambda^\bullet(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}) \otimes V_{\mathbb{Z}}(\lambda)$ 作为复形结构。
• 对 $\mathbf{V}^{<n>} \subset \mathbf{V}^{\otimes n}$ 应用 Young 对称化算子，构造一个合适的 $\mathbb{Z}$-格 $V(\lambda)_{\text{Young}}$，并与 $V(\lambda)_{\min}$ 和 $V(\lambda)_{\max}$ 进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kostant 关于李代数上同调的定理是否可推广至整 $p$-进数域 $\mathbb{Z}_{(p)}$，在 $p$-小权情形？
• RQ2 当 $\lambda$ 为 $p$-小时，$V_{\mathbb{Q}}(\lambda)$ 的 BGG 分解能否被提升为 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上的弱分解？
• RQ3 在 $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ 系数下，$U_P^-(\mathbb{Z})$ 的同调是否 admits 一个滤子，其分次同构于 $L$-Weyl 模的直和？
• RQ4 在 $\mathfrak{u}_P^-$ 为交换李代数的条件下，$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上分布代数的 BGG 复形在何种条件下能成为分解？
• RQ5 对于 $p$-小权 $\lambda$，$V_\mathbb{Q}(\lambda)$ 的最小、最大与 Young 格拉姆实现代数在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上是否同构？

主要发现

• Weyl 模 $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ 允许一个弱广义 BGG 分解，其分次项为 $\bigoplus_{w \in W^L(i)} M_{\mathfrak{p}}^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w(\lambda + \rho) - \rho)$，从而证明了定理 A。
• Kostant 定理在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上成立：$H_i(\mathfrak{u}_P^-, V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)) \cong \bigoplus_{w \in W^L(i)} V_{\mathbb{Z}_{(p)}}^L(w(\lambda + \rho) - \rho)$，如定理 B 所述。
• $U_P^-(\mathbb{Z})$ 的同调 $H_n(U_P^-(\mathbb{Z}), V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda))$ 具有一个滤子，其分次为 $\bigoplus_{w \in W^L(n)} V_{\mathbb{Z}_{(p)}}^L(w(\lambda + \rho) - \rho)$，从而证明了定理 C。
• 当 $\mathfrak{u}_P^-$ 为交换李代数时，$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上的 BGG 复形 $\mathcal{S}_\bullet(G,P,\lambda)$ 满足 $\mathcal{S}_w^{\mathbb{Z}_{(p)}}(G,P,\lambda)_{\overline{\chi}_{\lambda,p}} \cong \mathcal{M}_P^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w \cdot \lambda)$，如定理 D 所示。
• 对于 $p$-小 $\lambda$，$V_\mathbb{Q}(\lambda)$ 的最小、最大与 Young $\mathbb{Z}$-格在基域扩张至 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 后彼此同构，即 $V(\lambda)_{\min} \otimes \mathbb{Z}_{(p)} \cong V(\lambda)_{\text{Young}} \otimes \mathbb{Z}_{(p)} \cong V(\lambda)_{\max} \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$。
• 当 $\Gamma = U_P^-(\mathbb{Z})$ 且 $\lambda$ 为 $p$-小时，将 $H_*(\Gamma, M)$ 与 $H_*(\mathrm{gr}_{\mathrm{isol}}\Gamma, \mathrm{gr} M)$ 联系的谱序列在 $E_1$ 页退化，这是由于 Kostant 定理在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上成立。