[论文解读] Best Approximation Optimal Control for Infeasible Double Integrator and Douglas--Rachford Algorithm

Regina S. Burachik, Bethany I. Caldwell+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Numerical methods for differential equations被引用 0

一句话总结

该论文分析不可行双积分算子问题的最优近似控制，推导出最多一次切换的解析bang–bang解，并评估带数值案例研究的放宽版Douglas–Rachford算法。

ABSTRACT

We consider the problem of finding (in some sense) the best approximation control for an infeasible double integrator. The control function is constrained by upper and lower bounds that are too tight and thus cause infeasibility. The infeasibility is characterized by a gap function (representing the separation between two constraint sets) whose squared ${\cal L}^2$-norm is to be minimized to find the best approximation control solution. First, we review the existing results for problems involving a general linear control system. Then, for the infeasible double integrator problem, we present an analytical solution for the bang--bang control with at most one switching. The infinite-dimensional optimization problem is reduced to the problem of solving two algebraic equations in two variables, to compute the switching time and gap function. We discuss numerical approaches to solving the system of equations. Finally, we describe the (relaxed) Douglas--Rachford algorithm for the double integrator problem and carry out numerical experiments to illustrate the implementation of the algorithm and test performance.

研究动机与目标

• 为不可行线性动力学提供最佳近似控制的动机与形式化，以双积分算子为案例研究。
• 在界限过紧、可行交集为空时，刻画最优控制的结构。
• 推导展示包含至多一次切换的bang–bang控制的解析解，并提供计算切换时间与间隙的方法。
• 探索数值方法，包括放宽的Douglas–Rachford算法，用于求解不可行的控制问题。

提出的方法

• 对一般线性动力学的可行性与最佳近似框架及间隙最小化进行综述。
• 对于不可行的双积分算子，证明最佳近似控制为bang–bang，且至多存在一次切换。
• 将无穷维问题简化为在两个变量（切换时间和间隙）上求解两个代数方程。
• 推导切换时间在界限收紧时的渐近行为，并分析带数值实验的Douglas–Rachford算法的变体。
• 给出一个案例研究，并将通过牛顿型方法的切换时间计算与离散化方法的结果进行对比。

(a) $a=a_{c}=1+\sqrt{2}$

实验结果

研究问题

• RQ1 不可行双积分控制的最佳近似解是否可以解析地刻画？
• RQ2 在不可行性下，最优bang–bang解的最大切换点数是多少？
• RQ3 如何从约简方程组中计算切换时间与间隙函数？
• RQ4 在实际中，放宽的Douglas–Rachford方法在不可行的双积分问题上表现如何？

主要发现

a	c1	c2	ts (Newton)	ts (Table 11)
2	0.971167995377200	-0.680944121562971	0.701159969031407	0.701
1.5	2.172720275813312	-1.506394502798288	0.693321878369456	0.693
1	3.410002343912741	-2.335315565026760	0.684842803464806	0.685
0.5	4.685608293782471	-3.166921471137164	0.675882675754071
0.1	5.734078050140310	-3.833335390181957	0.668518174440991	0.667
0	6	-4	0.666666666666667	0.667

• 不可行的双积分的最佳近似控制为bang–bang，且至多有一次切换。
• 通过求解两个变量的两元多项式方程组可得到切换时间与间隙函数。
• 当界限趋于零时，给出切换时间的渐近结果。
• 数值案例表明牛顿法能在高精度下求解该方程组，从而实现对DR算法的快速评估。
• 描述并对放宽的Douglas–Rachford算法在不可行问题上的数值测试，展示实现与性能。

(b) $a=2$