[论文解读] Best-case and Worst-case Sparsifiability of Boolean CSPs

Butti, Silvia, Živný, Stanislav|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 5

一句话总结

本文通过确定非平凡稀疏化何时可能，对布尔CSP中的稀疏化特性进行了全面刻画。研究发现，仅当约束等价于OR（经变量取反后）时，才不会出现非平凡稀疏化；并建立了通过模素数幂整数环上的一次多项式实现线性稀疏化的线性代数条件。主要贡献在于对对称布尔CSP以及三元及以下的CSP实现了稀疏化的完整分类。

ABSTRACT

A cut epsilon-sparsifier of a weighted graph G is a re-weighted subgraph of G of (quasi)linear size that preserves the size of all cuts up to a multiplicative factor of epsilon. Since their introduction by Benczúr and Karger [STOC'96], cut sparsifiers have proved extremely influential and found various applications. Going beyond cut sparsifiers, Filtser and Krauthgamer [SIDMA'17] gave a precise classification of which binary Boolean CSPs are sparsifiable. In this paper, we extend their result to binary CSPs on arbitrary finite domains.

研究动机与目标

• 确定哪些布尔CSP允许非平凡多项式时间稀疏化。
• 识别出可实现线性稀疏化（O(n)条约束）的约束语言。
• 对对称布尔CSP以及三元及以下的CSP，刻画其最优稀疏化规模。
• 解决关于低次多项式表示在稀疏化中作用的开放问题。

提出的方法

• 使用通用代数和关系分析研究约束关系中的平衡运算与最小无解（min-no-goods）。
• 在环Z/p^kZ上应用线性代数，推导出约束可被一次多项式捕获的必要与充分条件。
• 利用锥可定义性将约束语言与2-or关系关联，实现结构化约化。
• 借助见证（witness）与无解（no-good）概念，分析在关系中不存在保持该关系的平衡运算的情况。
• 使用模m的权重同余关系，推导出关系中可能见证的约束条件。
• 结合结构结果与多项式表示理论，推导出稀疏化规模的紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些布尔CSP允许非平凡稀疏化，即对k元约束可约化为o(n^k)条约束？
• RQ2 在何种精确条件下，约束语言可实现线性稀疏化（O(n)条约束）？
• RQ3 对称布尔CSP的稀疏化特性如何依赖于其约束语言？
• RQ4 给定约束语言能否通过锥可定义性定义2-or关系，这对稀疏化有何含义？
• RQ5 对三元及以下约束的布尔CSP，其最优稀疏化规模是多少？

主要发现

• 唯一不允许可非平凡稀疏化的布尔CSP是那些包含k元OR约束（经变量取反后）的CSP，其强制要求Ω(n^k)条约束。
• 对于对称布尔CSP，当且仅当其约束语言不包含本质上为k元OR的关系时，才可实现线性稀疏化。
• 当且仅当每个约束可表示为某个素数幂p^k的整数环Z/p^kZ上的一次多项式时，约束语言才可实现线性稀疏化。
• 对于三元及以下约束的布尔CSP，最优稀疏化规模由约束语言中可表达的最大OR关系决定。
• 2-or关系可由约束语言锥可定义，当且仅当该语言包含一个不被任何平衡运算保持的2元最小无解。
• 本文证明：若关系R在平衡运算f下存在见证w，则在特定条件下，w的权重必须与R中元组的权重满足相同的模m同余关系。