[论文解读] Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings

Charlene Kalle, Wolfgang Steiner|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过分析非贪婪变换（如对称β-变换）在欧几里得空间中的β展开与多重镶嵌理论，扩展了经典贪婪情形下的相关理论。研究建立了镶嵌的充要条件，表明Pisot猜想无法推广至对称展开，特别是对于最小Pisot数和Tribonacci数。

ABSTRACT

From the works of Rauzy and Thurston, we know how to construct (multiple) tilings of some Euclidean space using the conjugates of a Pisot unit $\beta$ and the greedy $\beta$-transformation. In this paper, we consider different transformations generating expansions in base $\beta$, including cases where the associated subshift is not sofic. Under certain mild conditions, we show that they give multiple tilings. We also give a necessary and sufficient condition for the tiling property, generalizing the weak finiteness property (W) for greedy $\beta$-expansions. Remarkably, the symmetric $\beta$-transformation does not satisfy this condition when $\beta$ is the smallest Pisot number or the Tribonacci number. This means that the Pisot conjecture on tilings cannot be extended to the symmetric $\beta$-transformation. Closely related to these (multiple) tilings are natural extensions of the transformations, which have many nice properties: they are invariant under the Lebesgue measure; under certain conditions, they provide Markov partitions of the torus; they characterize the numbers with purely periodic expansion, and they allow determining any digit in an expansion without knowing the other digits.

研究动机与目标

• 将β展开的镶嵌性质从贪婪变换推广至其他基-$\beta$展开。
• 研究Pisot猜想在镶嵌方面是否适用于非贪婪变换，特别是对称$\beta$-变换。
• 刻画通过Pisot单位$\beta$的共轭诱导欧几里得空间（多重）镶嵌的条件。
• 探索自然扩张在捕捉周期展开及实现无需全局知识的逐位数字计算中的作用。
• 为镶嵌条件提供统一框架，推广任意变换下的弱有限性性质（W）。

提出的方法

• 利用与$\beta$-变换相关的动力系统自然扩张概念，研究不变测度与马尔可夫划分。
• 应用Pisot单位$\beta$的理论，构造共轭格，作为欧几里得空间中多重镶嵌的基础。
• 引入广义弱有限性条件，作为镶嵌的必要且充分条件，扩展经典（W）性质。
• 将对称$\beta$-变换作为关键示例进行分析，表明其在特定Pisot数下不满足广义镶嵌条件。
• 运用符号动力学与子移位研究展开性质，尤其关注子移位非sofic的情形。
• 利用自然扩张在勒贝格测度下的不变性，刻画纯周期展开并实现逐位数字计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非贪婪$\beta$-变换会诱导欧几里得空间的多重镶嵌？
• RQ2 弱有限性性质（W）能否推广为超越贪婪展开的镶嵌的必要且充分条件？
• RQ3 Pisot猜想在镶嵌方面是否适用于对称$\beta$-变换，特别是最小Pisot数与Tribonacci数？
• RQ4 对$\beta$-变换的自然扩张如何与周期展开结构及数字计算相关联？
• RQ5 非sofic子移位在$\beta$-展开的镶嵌行为中扮演何种角色？

主要发现

• 建立了镶嵌的充要条件，将弱有限性性质（W）推广至任意$\beta$-变换。
• 当$\beta$为最小Pisot数或Tribonacci数时，对称$\beta$-变换不满足广义镶嵌条件。
• 此失败表明，Pisot猜想在镶嵌方面无法推广至对称$\beta$-变换。
• 在适当条件下，变换的自然扩张在勒贝格测度下不变，并支持环面的马尔可夫划分。
• 自然扩张使得无需了解其他数字即可确定$\beta$-展开中的任意一位数字。
• 自然扩张刻画了具有纯周期$\beta$-展开的数，为这类数提供了动力学表征。