[论文解读] Bicommutant categories from conformal nets

André Henriques|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文证明了有限指标共形网的孤立子范畴是一个双交换范畴，并证明其Drinfel'd中心与该共形网的表示范畴等价。对于手征WZW共形网，这意味着基于环路群表示的Drinfel'd中心与自由环路群表示等价，通过双交换范畴统一了Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev拓扑量子场论。

ABSTRACT

We prove that the category of solitons of a finite index conformal net is a bicommutant category, and that its Drinfel'd center is the category of representations of the conformal net. In the special case of a chiral WZW conformal net with finite index, the second result specializes to the statement that the Drinfel'd center of the category of representations of the based loop group is equivalent to the category of representations of the free loop group. These results were announced in [arXiv:1503.06254].

研究动机与目标

• 确立有限指标共形网的孤立子范畴是一个双交换范畴。
• 证明该孤立子范畴的Drinfel'd中心与共形网的表示范畴等价。
• 通过双交换范畴框架统一Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev拓扑量子场论。
• 利用共形网及其表示理论，为Chern-Simons理论在一点处提供一个数学对象。
• 证明Reshetikhin-Turaev理论可借助双交换结构延伸至点，与先前预期相反。

提出的方法

• 利用共形网理论将孤立子定义为冯诺依曼代数上的双模，并配备半辫结构。
• 应用交换子范畴与双交换构造的概念，证明孤立子构成一个双交换范畴。
• 构造孤立子范畴的Drinfel'd中心与共形网表示范畴之间的辫张量等价。
• 采用无坐标共形网与融合规则，通过共形协变性定义表示及其辫结构。
• 利用交织算子与等距嵌入，将作用扩展至区间，证明相容模结构的存在。
• 借助cobordism假设与扩展TQFT形式化，将结果解释为Chern-Simons理论的点状不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明有限指标共形网的孤立子范畴是一个双交换范畴？
• RQ2 孤立子范畴的Drinfel'd中心是否与共形网的表示范畴等价？
• RQ3 双交换范畴框架是否允许Reshetikhin-Turaev TQFT延伸至点，与先前预期相反？
• RQ4 对于手征WZW共形网，基于环路群表示的Drinfel'd中心是否与自由环路群表示等价？
• RQ5 双交换范畴能否为Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev TQFT提供统一语言？

主要发现

• 有限指标共形网的孤立子范畴是一个双交换范畴。
• 孤立子范畴的Drinfel'd中心与共形网的表示范畴等价。
• 对于有限指标的手征WZW共形网，基于环路群表示范畴的Drinfel'd中心与自由环路群表示范畴等价。
• 该构造通过共形网为Chern-Simons理论在一点处提供了数学实现。
• 双交换范畴框架统一了Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev TQFT，表明后者可延伸至点。
• 结果证实了如下猜想：在级别k处，环路群LG的正能表示范畴与手征WZW共形网的表示范畴等价。