[论文解读] Biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive curvature

Nobumitsu Nakauchi, Hajime Urakawa|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 13

一句话总结

该论文证明了在具有非正截面曲率的完备黎曼流形中，若平均曲率张量的 $L^2$-范数有限，则任一双调和子流形必为极小的。通过在双张力场方程上使用截断函数并分部积分，作者在这些条件下证明平均曲率向量恒为零，从而在可积性与完备性假设下证实了B.Y. Chen猜想的广义版本。

ABSTRACT

We show that for an isometric immersion of a complete Riemannian manifold into a Riemannian manifold with non-positive curvature, the norm of the mean curvature vector field is square integrable, then it is minimal. This is a partial affirmative answer of the B. Y. Chen's conjecture.

研究动机与目标

• 解决关于非正曲率黎曼流形中双调和子流形的B.Y. Chen猜想的广义版本。
• 建立双调和子流形必须为极小的条件，尤其关注平均曲率张量的 $L^2$-范数的作用。
• 通过处理任意余维数的子流形和更强的曲率假设，拓展先前关于双调和映射的结果。
• 提供一种新颖的直接证明技术，避免先前工作中使用的方法，尤其适用于高余维数情形。

提出的方法

• 在测地球 $B_{2r}(x_0)$ 上使用光滑截断函数 $\lambda$，满足 $\lambda \equiv 1$ 在 $B_r(x_0)$ 上，且 $|\nabla \lambda| \leq 2/r$。
• 将双张力场方程 $\tau_2(\varphi) = 0$ 对 $\lambda^2 \eta$ 进行积分，以导出能量型不等式。
• 利用流形 $N$ 中截面曲率为非正的性质，确保双张力方程中曲率项非正。
• 应用 Young 不等式并取 $\epsilon = 1/2$，以控制涉及 $\nabla \lambda$ 和 $\overline{\nabla}_X \eta$ 的交叉项，从而获得一致有界性。
• 取 $r \to \infty$ 的极限，推导出 $\int_M \sum_{i=1}^m |\overline{\nabla}_{e_i} \eta|^2 \, v_g \leq 0$，这意味着对所有向量场 $X$ 有 $\overline{\nabla}_X \eta = 0$。
• 利用分解式 $\overline{\nabla}_X \eta = -A_\eta(X) + \nabla^\perp_X \eta$，并由切向与法向分量均消失，得出 $\eta \equiv 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非正曲率黎曼流形中，双调和子流形在何种条件下成为极小的？
• RQ2 当平均曲率张量的 $L^2$-范数有限时，广义的B.Y. Chen猜想是否可被验证？
• RQ3 子流形 $M$ 的完备性与 $\int_M |\eta|^2 \, v_g$ 的有限性是否足以迫使非正曲率环境中双调和子流形为极小的？
• RQ4 为何先前的方法在高余维数子流形中失效，需要何种新方法？

主要发现

• 若 $\varphi: (M,g) \to (N,h)$ 是一个双调和等距浸入，且 $M$ 完备，$\int_M |\eta|^2 \, v_g < \infty$，则 $\eta \equiv 0$，即浸入是极小的。
• 证明表明对 $M$ 上所有向量场 $X$ 有 $\overline{\nabla}_X \eta = 0$，意味着 $\eta$ 是平行的。
• 由于 $N$ 中截面曲率为非正，曲率项 $\sum_{i=1}^m \langle R^N(\eta, d\varphi(e_i)) d\varphi(e_i), \eta \rangle$ 非正，这对能量估计至关重要。
• $|\eta|$ 的 $L^2$-有限性与 $M$ 的完备性允许取 $r \to \infty$ 的极限，从而得到 $\int_M \sum_{i=1}^m |\overline{\nabla}_{e_i} \eta|^2 \, v_g \leq 0$，强制 $\eta$ 的梯度为零。
• 由于 $A_\eta(X)$ 与 $\nabla^\perp_X \eta$ 均为零，可推出对所有 $X,Y$ 有 $\langle B(X,Y), \eta \rangle = 0$，而由于 $\eta = \frac{1}{m} \sum_i B(e_i,e_i)$，故 $\eta \equiv 0$。
• 该结果在所述条件下证实了广义的B.Y. Chen猜想，为双调和子流形的极小性提供了精确的充分条件。