[论文解读] Bimodules over operads characterize morphisms

Kathryn Hess, Paul-Eugène Parent+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 1

一句话总结

该论文引入了在操作代数上的共环（co-rings）作为‘相对操作代数’，通过‘加宽’态射集合的同时保持对象不变，来参数化 P-(co)代数之间的态射。利用一种‘衍射’函子，它从链余代数构造 A-共环，通过 Koszul 修正对 Gugenheim 和 Munkholm 的 DASH 与 DCSH 类别提供了操作代数表征，并通过可 acyclic 模型方法实现了更高阶同伦结构。

ABSTRACT

Let M be a bicomplete, closed symmetric monoidal category. Let P be an operad in M, i.e., a monoid in the category of symmetric sequences of objects in M, with its composition monoidal structure. Let R be a P-co-ring, i.e., a comonoid in the category of P-bimodules. The co-ring R induces a natural ``fattening'' of the category of P-(co)algebras, expanding the morphism sets while leaving the objects fixed. Co-rings over operads are thus ``relative operads,'' parametrizing morphisms as operads parametrize (co)algebras. Let A denote the associative operad in the category of chain complexes. We define a ``diffracting'' functor that produces A-co-rings from symmetric sequences of chain coalgebras, leading to a multitude of ``fattened'' categories of (co)associative chain (co)algebras. In particular, we obtain a purely operadic description of the categories DASH and DCSH first defined by Gugenheim and Munkholm, via an A-co-ring that has the two-sided Koszul resolution of A as its underlying A-bimodule. The diffracting functor plays a crucial role in enabling us to prove existence of higher, ``up to homotopy'' structure of morphisms via acyclic models methods. It has already been successfully applied in this sense in a number of recent articles and preprints.

研究动机与目标

• 通过引入操作代数上的共环作为编码 (co)代数之间态射的结构，推广操作代数。
• 为具有增强态射结构的 (co)结合链 (co)代数类别提供一个纯粹的操作代数框架。
• 通过一种新的‘衍射’函子，建立链余代数的对称序列与 A-共环之间的联系。
• 通过可 acyclic 模型技术，实现态射上更高阶同伦结构的构造。

提出的方法

• 将 P-共环定义为在双完备、闭合的对称张量范畴 M 上的 P-双模范畴中的余单子。
• 引入一种‘加宽’构造，扩展 P-(co)代数范畴中态射集合，同时固定对象。
• 构造一个‘衍射’函子，将链余代数的对称序列映射到链复形范畴中的 A-共环。
• 以结合操作代数 A 的两面 Koszul 修正作为关键 A-共环的底层 A-双模。
• 应用可 acyclic 模型方法，证明态射上更高阶同伦结构的存在性。
• 利用共环的操作代数结构，以统一且内在的方式描述 DASH 与 DCSH 类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用类似于操作代数的代数结构来参数化 P-(co)代数之间的态射？
• RQ2 链余代数的对称序列在构造增强态射集合的共环中起什么作用？
• RQ3 DASH 与 DCSH 类别能否通过结合操作代数上的共环以纯粹的操作代数术语加以描述？
• RQ4 衍射函子如何将链余代数与 A-共环关联起来，并促进更高阶同伦结构的实现？
• RQ5 可 acyclic 模型方法在何种方式下使态射上的同伦上结构得以构造？

主要发现

• 操作代数上的共环作为‘相对操作代数’，通过加宽态射集合，自然地参数化了 P-(co)代数之间的态射。
• 衍射函子从链余代数的对称序列构造 A-共环，提供了一种系统化生成此类结构的方法。
• 以 A 的两面 Koszul 修正作为底层 A-双模的 A-共环，给出了 DASH 与 DCSH 类别的纯粹操作代数描述。
• 该构造通过可 acyclic 模型技术，实现了态射上更高阶同伦结构的存在性。
• 该框架统一并推广了同调代数中先前的构造，特别是 Gugenheim 和 Munkholm 的工作。
• 该方法为理解导出代数与同伦理论中的态射范畴提供了新的操作代数视角。