[论文解读] Binary Nonlinearization of Lax Pairs

Wen‐Xiu Ma, Benno Fuchssteiner|ArXiv.org|May 31, 1996

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文提出了一种用于孤子族中Lax对及其伴随Lax对的二元非线性化方法，利用Bargmann对称约束将无穷维可积系统非线性化为有限维可交换哈密顿系统。关键贡献是通过分离变量法构造显式的、有限隙的、对合的解，该方法在AKNS族中得到验证，具有显式的哈密顿结构和运动积分。

ABSTRACT

A kind of Bargmann symmetry constraints involving Lax pairs and adjoint Lax pairs is proposed for soliton hierarchy. The Lax pairs and adjoint Lax pairs are nonlinearized into a hierarchy of commutative finite dimensional integrable Hamiltonian systems and explicit integrals of motion may also be generated. The corresponding binary nonlinearization procedure leads to a sort of involutive solutions to every system in soliton hierarchy which are all of finite gap. An illustrative example is given in the case of AKNS soliton hierarchy.

研究动机与目标

• 将单重非线性化推广至同时包含孤子族中的Lax对与伴随Lax对。
• 建立一种二元非线性化框架，从无穷维孤子方程生成有限维可积哈密顿系统。
• 为非线性孤子方程提供一种通过对合解实现分离变量的方法。
• 展示在所得系统中显式构造运动积分与有限隙性质。
• 通过对称性约束弥合有限维可积系统与无穷维孤子方程之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过谱参数关于势函数的变分导数引入Bargmann对称约束。
• 通过 $ G_0 = \sum_{j=1}^N E_j \frac{\delta \lambda_j}{\delta u} $ 定义约束，其中 $ E_j $ 涉及 $ \bar{V}(\lambda_j) = \phi^{(j)} \psi^{(j)T} $ 的积分。
• 通过将势函数 $ u = f(\phi^{(1)},\dots,\phi^{(N)}; \psi^{(1)},\dots,\psi^{(N)}) $ 代入线性系统，对Lax对与伴随Lax对进行非线性化。
• 在 $ \mathbb{R}^{2sN} $ 上构造辛结构 $ \omega^2 = \sum_{i=1}^s dP_i \wedge dQ_i $，以定义泊松括号与哈密顿向量场。
• 分别导出非线性化空间系统（5）与时间系统（6）作为具有哈密顿量 $ H $ 与 $ H_n $ 的有限维哈密顿系统。
• 证明所得系统具有显式运动积分，并可通过初等积分实现可积性，其解可表示为哈密顿流。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何同时对Lax对与伴随Lax对进行非线性化，以生成有限维可积系统？
• RQ2 Bargmann对称约束在孤子族中生成有限隙、对合解的过程中起什么作用？
• RQ3 为何在二元非线性化过程中，非线性化空间与时间系统始终具有哈密顿结构？
• RQ4 非线性化的时间系统是否可独立于空间系统实现可积？
• RQ5 所得有限维系统与原始无穷维孤子方程在分离变量与可积性方面有何关系？

主要发现

• 二元非线性化方法成功地将Lax对与伴随Lax对转化为具有显式运动积分的可交换有限维可积哈密顿系统。
• 非线性化空间系统（5）与时间系统（6）分别被证明为具有哈密顿量 $ H $ 与 $ H_n $ 的哈密顿系统，其来源于谱数据与约束。
• 在AKNS族中，哈密顿函数显式给出为 $ H = 2(<AP_1,Q_1> - <AP_3,Q_3>) - 2(<P_1,Q_2> + <P_2,Q_3>)(<P_2,Q_1> + <P_3,Q_2>) $，其中 $ A = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_N) $。
• 第 $ n $ 个AKNS方程的解被构造为 $ P_i(x,t_n) = g^x_H g^{t_n}_{H_n} P_i(0,0) $，$ Q_i(x,t_n) = g^x_H g^{t_n}_{H_n} Q_i(0,0) $，从而得到具有分离变量的对合解。
• 所得解被证明为有限隙解，确认了非线性化系统谱性质。
• 该方法通过对称性约束系统性地实现了孤子方程的分离变量与初等积分可积性。