[论文解读] Bivariate Exponentiated Modified Weibull Extension

Awad El-Gohary, Mahmoud El-Morshedy|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新的两变量指数化修正威布尔扩展（BEMWE）分布，其源自一个马尔沙尔-奥尔金冲击模型，其中组件寿命由三个独立的冲击源驱动。该模型可得到闭式联合与边缘分布，支持最大似然估计，并在NFL得分时间数据上表现出良好的拟合效果，提供了实际应用的参数估计值及其95%置信区间。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new bivariate distribution we called it bivariate expo- nentiated modified Weibull extension distribution (BEMWE). The model introduced here is of Marshall-Olkin type. The marginals of the new bivariate distribution have exponentiated modified Weibull extension distribution which proposed by Sarhan et al.(2013). The joint probability density function and the joint cumulative distribu- tion function are in closed forms. Several properties of this distribution have been discussed.The maximum likelihood estimators of the parameters are derived. One real data set are analyzed using the new bivariate distribution, which show that the new bivariate distribution can be used quite effectively in fitting and analyzing real lifetime data

研究动机与目标

• 开发一种灵活的两变量分布，用于建模具有重尾和偏态行为的依赖寿命数据。
• 通过马尔沙尔-奥尔金型冲击模型，将单变量指数化修正威布尔扩展（EMWE）分布扩展至两变量框架。
• 推导所提出的BEMWE分布的联合与边缘概率密度函数及累积分布函数的闭式表达式。
• 通过最大似然估计和费歇尔信息矩阵，实现参数不确定性的统计推断。
• 通过真实NFL比赛得分时间数据验证该模型的有效性。

提出的方法

• BEMWE分布通过三个独立的EMWE分布冲击源构建：一个作用于组件1，一个作用于组件2，一个同时作用于两者。
• 组件寿命定义为 $X_1 = \max(U_1, U_3)$ 和 $X_2 = \max(U_2, U_3)$，其中 $U_i \sim \text{EMWE}(\gamma_i, \alpha, \beta, \lambda)$。
• 联合生存函数推导为 $F_{BEMWE}(x_1,x_2) = F_{EMWE}(x_1; \gamma_1) F_{EMWE}(x_2; \gamma_2) F_{EMWE}(z; \gamma_3)$，其中 $z = \min(x_1,x_2)$。
• 通过对联合分布函数求导得到联合概率密度函数，其表达式涉及EMWE概率密度函数和生存函数，形式简洁。
• 通过最大化观测数据的对数似然函数，推导出最大似然估计量（MLEs）。
• 计算观测费歇尔信息矩阵，以估计标准误并构建参数的95%置信区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种基于马尔沙尔-奥尔金型的两变量EMWE分布扩展，以建模具有灵活风险率的依赖组件寿命？
• RQ2 所提出的BEMWE分布的联合与边缘概率密度函数及累积分布函数是否存在闭式表达式？
• RQ3 与现有模型相比，BEMWE模型在拟合真实两变量寿命数据方面表现如何？
• RQ4 BEMWE参数的MLEs具有哪些统计特性，包括其标准误与置信区间？
• RQ5 BEMWE模型能否有效捕捉现实世界生存数据中的依赖结构，例如美式橄榄球比赛的得分时间？

主要发现

• BEMWE分布具有闭式联合累积分布函数与概率密度函数，支持解析可处理性与实际应用。
• 基于NFL数据，获得了参数 $\hat{\gamma}_1 = 0.0416$、$\hat{\gamma}_2 = 0.253$ 和 $\hat{\gamma}_3 = 0.52$ 的最大似然估计，对数似然值为 -250.28。
• 参数 $\hat{\gamma}_1$ 的95%置信区间为 (0, 0.098)，$\hat{\gamma}_2$ 为 (0.130, 0.376)，$\hat{\gamma}_3$ 为 (0.355, 0.685)。
• 通过求逆观测费歇尔信息矩阵，估计了MLEs的方差-协方差矩阵，从而实现对参数不确定性的推断。
• 该模型能有效拟合NFL得分时间数据，证明其在建模具有竞争风险的两变量寿命事件方面具有实用性。
• BEMWE分布的边缘分布即为EMWE分布，且其推广了马尔沙尔-奥尔金两变量指数分布模型。