[论文解读] Bivariate Lagrange Interpolation on Tower Interpolation Sites

Tian Dong, Tao Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文引入了双变量拉格朗日插值的塔形插值点，实现了在标准单项式序下对降次单项式基和牛顿基的理论计算。通过在 Buchberger-Möller 算法中利用这些基，相较于直接输入塔形插值点，显著加快了消失理想上约化 Gröbner 基的计算速度。

ABSTRACT

AbstractAs is well known, the geometry of the interpolation site of a multivariate polynomial interpola-tion problem constitutes a dominant factor for the structures of the interpolation polynomials.Solving interpolation problems on interpolation sites with special geometries in theory may bea key step to the development of general multivariate interpolation theory. In this paper, weintroduce a new type of 2-dimensional interpolation sites, tower interpolation sites, whose asso-ciated degree reducing Lagrange interpolation monomial and Newton bases w.r.t. fixed standardterm orders such as lexicographical order, total degree lexicographical order, etc. can be figuredout theoretically. Inputting these interpolation bases into Buchberger-Mo¨ller(BM) algorithm, wecan also construct the reduced Grobner bases for related vanishing ideals. Experimental resultsshow that in this way we can get the bases much faster than inputting tower sites directly intoBM algorithm. Keywords: Bivariate Lagrange interpolation, Degree reducing interpolation space, Towerinterpolation site, Grobner basis

研究动机与目标

• 开发一类新型二维插值点——塔形插值点，其几何结构支持插值基的理论推导。
• 在诸如字典序和总次数字典序等标准单项式序下，计算这些插值点的降次单项式基与牛顿基。
• 通过在 Buchberger-Möller 算法中使用推导出的基，实现对这些插值点消失理想的约化 Gröbner 基的更快构建。
• 为具有结构化几何形状的多元插值问题提供理论基础，推动多元插值理论的一般化发展。

提出的方法

• 将塔形插值点定义为一类具有特定几何构型的新型二维插值点，以促进解析基的计算。
• 在固定的标准单项式序（包括字典序和总次数字典序）下，推导这些插值点的降次单项式基与牛顿基。
• 将 Buchberger-Möller 算法应用于推导出的插值基，而非直接应用于插值点，从而提升计算效率。
• 通过理论推导插值基确保正确性，并相较于直接算法输入，实现更快的 Gröbner 基计算。
• 将推导出的基作为输入应用于 Buchberger-Möller 算法，以计算相关消失理想的约化 Gröbner 基。
• 通过实验验证方法的有效性，结果表明使用推导基相较于直接输入插值点，显著提升了 Gröbner 基计算的速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以定义一类新型二维插值点——塔形插值点，使得其关联的降次插值基能够被理论计算？
• RQ2 标准单项式序（如字典序和总次数字典序）如何影响塔形插值点上单项式基与牛顿基的结构？
• RQ3 与直接输入插值点相比，使用推导出的插值基作为 Buchberger-Möller 算法的输入，在多大程度上加速了约化 Gröbner 基的计算？
• RQ4 围绕具有特殊几何结构（如塔形构型）的插值点组织插值问题，其理论与计算优势是什么？

主要发现

• 塔形插值点使得在字典序和总次数字典序等标准单项式序下，能够理论推导出降次单项式基与牛顿基。
• 推导出的插值基可作为 Buchberger-Möller 算法的输入，与直接输入塔形插值点相比，显著加快了约化 Gröbner 基的计算速度。
• 实验结果证实，与直接将 Buchberger-Möller 算法应用于塔形插值点相比，所提方法在计算速度上表现更优。
• 该方法为构造插值基及其相关 Gröbner 基提供了结构化路径，支持一般多元插值理论的发展。