[论文解读] Blind Deconvolution Meets Blind Demixing: Algorithms and Performance Bounds

Shuyang Ling, Thomas Strohmer|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 34被引用 24

一句话总结

该论文提出了一种新颖的框架，通过半定规划（semidefinite programming）从单一混合观测中同时恢复 r 个信号及其对应的卷积核。在合理假设下——如信号位于已知的低维子空间中，且滤波器具有有界的延迟扩展——当测量数满足 $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $ 时，该方法以高概率实现鲁棒且精确的恢复，其中 $ K $ 为最大延迟扩展，$ N $ 为子空间维数。

ABSTRACT

Suppose that we have $r$ sensors and each one intends to send a function $\boldsymbol{g}_i$ (e.g.\ a signal or an image) to a receiver common to all $r$ sensors. During transmission, each $\boldsymbol{g}_i$ gets convolved with a function $\boldsymbol{f}_i$. The receiver records the function $\boldsymbol{y}$, given by the sum of all these convolved signals. When and under which conditions is it possible to recover the individual signals $\boldsymbol{g}_i$ and the blurring functions $\boldsymbol{f}_i$ from just one received signal $\boldsymbol{y}$? This challenging problem, which intertwines blind deconvolution with blind demixing, appears in a variety of applications, such as audio processing, image processing, neuroscience, spectroscopy, and astronomy. It is also expected to play a central role in connection with the future Internet-of-Things. We will prove that under reasonable and practical assumptions, it is possible to solve this otherwise highly ill-posed problem and recover the $r$ transmitted functions $\boldsymbol{g}_i$ and the impulse responses $\boldsymbol{f}_i$ in a robust, reliable, and efficient manner from just one single received function $\boldsymbol{y}$ by solving a semidefinite program. We derive explicit bounds on the number of measurements needed for successful recovery and prove that our method is robust in the presence of noise. Our theory is actually sub-optimal, since numerical experiments demonstrate that, quite remarkably, recovery is still possible if the number of measurements is close to the number of degrees of freedom.

研究动机与目标

• 解决从单一混合观测中联合恢复 r 个信号及其卷积核这一极具挑战性的问题，该问题在缺乏额外约束时高度病态。
• 克服现有方法依赖多个接收信号的局限，实现仅从单一观测中完成恢复。
• 在实际假设下建立恢复性能的理论边界，如信号位于已知的低维子空间中，且滤波器具有有界的延迟扩展。
• 展示方法对噪声的鲁棒性，并验证其在物联网、无线通信和成像等实际应用中的可扩展性。
• 提供一个统一的框架，将盲去卷积与盲分离合并为一个可通过凸松弛求解的单一优化问题。

提出的方法

• 将每个信号 $ \boldsymbol{g}_i $ 建模为位于已知的 $ N $-维子空间中，形式为 $ \boldsymbol{g}_i = \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{x}_i $，其中 $ \boldsymbol{A}_i $ 是一个 $ L \times N $ 矩阵。
• 将联合恢复问题表述为一个半定规划（SDP），通过最小化由未知信号与滤波器构造的低秩矩阵的核范数来实现。
• 使用提升技术（lifting technique）将非凸的盲去卷积-去混叠问题转化为一个关于表示信号与滤波器分量外积的矩阵变量的凸优化问题。
• 引入测量矩阵 $ \boldsymbol{A}_i $ 的局部相互无干性条件，当 $ \boldsymbol{A}_i $ 为独立同分布的高斯矩阵时，该条件以高概率成立。
• 采用类似随机傅里叶矩阵的结构来建模卷积的低频分量，从而实现对无干性参数 $ \mu_h^2 $ 的结构化分析。
• 利用测度集中与随机矩阵理论，推导出在 SDP 框架下具有高概率的恢复保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可从单一混合观测中唯一恢复出 r 个信号及其卷积核？
• RQ2 成功恢复所需的最小测量数 $ L $ 是多少？
• RQ3 在存在加性噪声的情况下，该方法表现如何？其对扰动的鲁棒性如何？
• RQ4 该恢复框架能否扩展到仅有一个观测可用的情况，而无需像以往方法那样依赖多个信号？
• RQ5 子空间结构与无干性在实现最小采样下的恢复中起到何种作用？

主要发现

• 所提出的半定规划方法在给定假设下，以高概率从单一观测 $ \boldsymbol{y} $ 中恢复出所有 $ r $ 个信号 $ \boldsymbol{g}_i $ 及其对应的滤波器 $ \boldsymbol{f}_i $。
• 成功恢复所需的测量数 $ L $ 满足 $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $，其中 $ K $ 为最大延迟扩展，$ \mu_h^2 $ 为无干性参数。
• 数值实验表明，即使当 $ L $ 接近自由度数量时，恢复仍可实现，表明理论边界虽非最优，但该方法在实践中极为高效。
• 该方法对加性噪声具有鲁棒性，理论保证表明其在噪声条件下仍能实现稳定恢复。
• 恢复结果在全局缩放模糊性下唯一：将每个 $ \boldsymbol{x}_i $ 乘以 $ c_i $，并将每个 $ \boldsymbol{f}_i $ 乘以 $ 1/c_i $，不会改变观测信号 $ \boldsymbol{y} $。
• 该框架适用于广泛的应用场景，包括音频处理、图像去模糊、神经科学、光谱学以及未来对信令开销要求极低的物联网系统。