[论文解读] Boolean functions on high-dimensional expanders

Yotam Dikstein, Irit Dinur+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通过定义基于随机游走的高维扩张概念，并在单纯复形上的随机游走中构建类傅里叶分解至近似特征子空间，提出了一套用于高维扩张上的布尔函数分析的框架。关键贡献是弗里德古特-卡莱-瑙尔定理的高维类比，表明在高维扩张上具有低影响的函数接近于单个变量的布尔函数，证明此类扩张可作为布尔切片的稀疏模型。

ABSTRACT

We initiate the study of Boolean function analysis on high-dimensional expanders. We give a random-walk based definition of high-dimensional expansion, which coincides with the earlier definition in terms of two-sided link expanders. Using this definition, we describe an analog of the Fourier expansion and the Fourier levels of the Boolean hypercube for simplicial complexes. Our analog is a decomposition into approximate eigenspaces of random walks associated with the simplicial complexes. Our random-walk definition and the decomposition have the additional advantage that they extend to the more general setting of posets, encompassing both high-dimensional expanders and the Grassmann poset, which appears in recent work on the unique games conjecture. We then use this decomposition to extend the Friedgut-Kalai-Naor theorem to high-dimensional expanders. Our results demonstrate that a constant-degree high-dimensional expander can sometimes serve as a sparse model for the Boolean slice or hypercube, and quite possibly additional results from Boolean function analysis can be carried over to this sparse model. Therefore, this model can be viewed as a derandomization of the Boolean slice, containing only $|X(k-1)|=O(n)$ points in contrast to $\binom{n}{k}$ points in the $(k)$-slice (which consists of all $n$-bit strings with exactly $k$ ones).

研究动机与目标

• 将经典布尔函数分析（此前局限于超立方体或群结构）扩展至高维扩张，其为高维单纯复形的稀疏模型。
• 通过单纯复形上的随机游走定义高维扩张的概念，推广谱链扩张并适用于更广泛的偏序集结构。
• 在高维扩张上的函数中构建类傅里叶分解，将其分解为随机游走算子的近似特征子空间，类比于超立方体上的傅里叶层级。
• 证明弗里德古特-卡莱-瑙尔（FKN）定理的高维类比，表明在高维扩张上具有低影响的布尔函数接近于一次函数的junta（合并函数）。
• 展示常数度高维扩张可作为布尔切片的有效稀疏模型，其点数仅需O(n)，而k-切片中需Ω(n^k)个点。

提出的方法

• 通过单纯复形上各面的链的随机游走算子的谱间隙来定义高维扩张，其中扩张由这些算子的谱间隙衡量。
• 将顶层面上的实值函数分解为这些随机游走算子的近似特征子空间，推广超立方体上的傅里叶分解。
• 利用一致定理将定义在子面上的局部低次函数拼接为全局低次函数，确保在重叠子面上的一致性。
• 将该分解应用于分析低影响布尔函数，通过FKN定理的变体表明其接近于一次函数。
• 利用复形的谱间隙与扩张性质，界定向局部函数逼近中的误差，并以高概率确保全局一致性。
• 利用随机游走定义将该框架扩展至一般偏序集（包括格拉斯曼偏序集），从而在编码理论与唯一游戏猜想等更广泛问题中具备适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于单纯复形上的随机游走定义一种高维扩张概念，使其推广谱链扩张并适用于更广泛的偏序集结构？
• RQ2 能否在高维扩张上定义类傅里叶分解，类比于布尔超立方体上的傅里叶展开？
• RQ3 弗里德古特-卡莱-瑙尔定理能否推广至高维扩张，表明低影响布尔函数接近于一次函数的junta？
• RQ4 常数度高维扩张是否可作为布尔切片的有效稀疏模型，将点数从Θ(n^k)减少至O(n)？
• RQ5 布尔函数分析中的技术（如影响与一致性测试）能否被适配用于高维扩张？

主要发现

• 提出了一种基于随机游走的高维扩张定义，其与双侧链扩张条件一致，并可自然推广至一般偏序集。
• 构建了高维扩张上函数的近似特征子空间分解，作为超立方体上傅里叶分解的高维类比。
• 将弗里德古特-卡莱-瑙尔定理推广至高维扩张：在该类复形上，任意低影响布尔函数与一次函数的O(ε)距离内，误差依赖于谱间隙。
• 应用一致定理将局部低次函数拼接为全局函数，表明一致的局部近似可高概率地实现为全局函数。
• 常数度高维扩张可作为布尔切片的稀疏模型，仅含O(n)个点，而非k-切片中的Θ(n^k)个点，暗示其在去随机化中的更广泛应用。
• 该框架不仅适用于高维扩张，也适用于格拉斯曼偏序集，表明其在编码理论与唯一游戏猜想中具有潜在应用价值。