[论文解读] Borel sets which are null or non-$\sigma$-finite for every translation invariant measure

Márton Elekes, Tamás Keleti|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了刘维尔数集在ℝ上是不可测的——这意味着在ℝ上的每种平移不变博雷尔测度下，它要么为零测集，要么非σ-有限——从而回答了D. Mauldin提出的问题。作者利用稠密Gδ集的结构性质以及涉及富比尼定理和具有非空内部差集的紧致集的测度论论证，将该结果推广至其他著名集合，如非正规数集、特定的贝西科维奇-艾格尔顿集，以及非Fσ的ℝ的博雷尔子群。

ABSTRACT

We show that the set of Liouville numbers is either null or non-$\sigma$-finite with respect to every translation invariant Borel measure on $\RR$, in particular, with respect to every Hausdorff measure $\iH^g$ with gauge function $g$. This answers a question of D. Mauldin. We also show that some other simply defined Borel sets like non-normal or some Besicovitch-Eggleston numbers, as well as all Borel subgroups of $\RR$ that are not $F_\sigma$ possess the above property. We prove that, apart from some trivial cases, the Borel class, Hausdorff or packing dimension of a Borel set with no such measure on it can be arbitrary.

研究动机与目标

• 解决D. Mauldin关于刘维尔数集是否允许存在正且σ-有限的平移不变博雷尔测度的开放问题。
• 刻画在每种平移不变博雷尔测度下均为零测或非σ-有限的博雷尔集（定义为“不可测”集）。
• 证明若干自然定义的博雷尔集（包括非正规数集和特定的贝西科维奇-艾格尔顿类）为不可测集。
• 表明不可测集可具有任意博雷尔类及任意豪斯多夫或填充维数，超越平凡情形。
• 建立ℝ的非Fσ博雷尔子群必为不可测集的一般结构准则。

提出的方法

• 证明：若一个非空Gδ集具有零勒贝格测度且其平移不变集稠密，则其为不可测集，使用测度论引理。
• 应用富比尼定理由集合{(x, y) : x + y ∈ B}得出：在µ(B) > 0且σ-有限的假设下，对λ-几乎处处的t，有µ(B ∩ (B + t)) = 0。
• 利用内正则性和博雷尔集结构，构造紧致子集C ⊂ B，使得µ(C) > 0且int(C − C) ≠ ∅。
• 利用C − C的非空内部性质，在B内生成不可数个互不相交的C的平移，从而推出µ(B) = ∞。
• 将一般结果应用于刘维尔数集，因其是零勒贝格测度的稠密Gδ集且在有理数平移下不变。
• 通过结构论证将结果推广至其他集合：证明非正规数集及贝西科维奇-艾格尔顿集的补集满足相同的不变性与零测度条件。
• 利用群论与维数论工具，证明每个非Fσ的ℝ博雷尔加法子群均为不可测集。
• 通过线性无关集的直和构造不可数个不可测集族，并利用Lipschitz映射的维数控制，实现对任意豪斯多夫或填充维数的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 刘维尔数集是否在ℝ上允许存在正且σ-有限的平移不变博雷尔测度？
• RQ2 一个博雷尔集是否可以为不可测集（即在每种平移不变博雷尔测度下均为零测或非σ-有限），即使其具有如Gδ集般的规则结构？
• RQ3 是否存在具有任意博雷尔类或豪斯多夫维数的不可测博雷尔集？
• RQ4 每个非Fσ的ℝ博雷尔子群是否必为不可测集？
• RQ5 若一个博雷尔集上存在正且σ-有限的平移不变博雷尔测度，是否可推出存在具有相同性质的合适豪斯多夫或填充测度？

主要发现

• 刘维尔数集是不可测的：在ℝ上的每种平移不变博雷尔测度下，它要么为零测集，要么非σ-有限。
• 区间[0,1]中的非正规数集是不可测的，因其是零勒贝格测度的稠密Gδ集且在有理数平移下不变。
• 贝西科维奇-艾格尔顿集BE(1,0)的补集是不可测的，原因在于其相似的结构与测度论性质。
• 每个非Fσ的ℝ博雷尔加法子群均为不可测集，从而提供了一类不可测集的一般类别。
• 存在具有任意博雷尔类（开集除外）及任意豪斯多夫或填充维数的不可测博雷尔集。
• 对任意α ∈ (0,1)，存在一个ℝ的博雷尔子群G′α，其豪斯多夫维数为α，且为不可测集；该构造可通过可数并推广至α = 1的情形。