[论文解读] Borel summability and the non perturbative $1/N$ expansion of arbitrary quartic tensor models

Thibault Delepouve, Razvan Gurău+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 33被引用 14

一句话总结

该论文通过一种新颖的多重中间场环顶点展开及基于柯西-施瓦茨不等式的界，建立了任意四次张量模型的博雷尔可求和性，证明了张量规模增大时的一致收敛性。结果表明，$1/N$展开是构造性的：每个累积量可分解为显式项与一个在心脏形区域中$1/N$抑制的解析余项之和。

ABSTRACT

We extend the proof of Borel summability of melonic quartic tensor models to tensor models with arbitrary quartic interactions. This extension requires a new version of the loop vertex expansion using several species of intermediate fields and new bounds based on Cauchy-Schwarz inequalities. The Borel summability is proven to be uniform as the tensor size becomes large. Furthermore, we show that the $1/N$ expansion of any quartic tensor model can be performed at the constructive level, that is we show that every cumulant is a sum of explicit terms up to some order plus a rest term which is an analytic function in the coupling constant in a cardioid domain of the complex plane and which is suppressed in $1/N$.

研究动机与目标

• 将博雷尔可求和性从胶状图推广至一般四次张量模型。
• 为所有四次相互作用开发一个有效的构造性$1/N$展开框架。
• 确保博雷尔可求和性在张量规模增大时的一致性。
• 证明累积量可分解为显式项与一个$1/N$抑制的解析余项。
• 在复耦合平面的心脏形区域内，建立余项的解析控制。

提出的方法

• 引入一种使用多种中间场的新环顶点展开，以处理任意四次相互作用。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，推导展开中张量收缩的新界。
• 构建多尺度分析框架，以控制$1/N$展开中的发散行为。
• 通过独立于张量规模地控制展开系数的增长，证明博雷尔可求和性的一致性。
• 将每个累积量的余项特征化为复耦合平面中心脏形区域内的解析函数。
• 证明余项受$1/N$的幂次抑制，从而确保$1/N$展开的构造性。

实验结果

研究问题

• RQ1 博雷尔可求和性能否从胶状图相互作用推广至所有四次张量模型？
• RQ2 环顶点展开如何推广以容纳任意四次相互作用？
• RQ3 为确保张量规模增大时博雷尔可求和性的一致性，需要哪些界？
• RQ4 能否在单个累积量的层面上使$1/N$展开具有构造性？
• RQ5 在$1/N$展开中，余项的解析区域是什么？其抑制机制如何？

主要发现

• 对所有四次张量模型（不仅限于胶状图）证明了博雷尔可求和性在张量规模上的一致性。
• $1/N$展开是构造性的：每个累积量可表示为显式项与一个在心脏形区域内解析的余项之和。
• 余项受$1/N$的幂次抑制，证实了该展开的渐近性质。
• 采用多种中间场的新环顶点展开，使对任意四次相互作用的控制成为可能。
• 基于柯西-施瓦茨的界对于在不同张量规模下实现一致收敛至关重要。
• 余项的解析区域是复耦合平面中的心脏形区域，确保了博雷尔变换的收敛性。