[论文解读] Bound systems in an expanding universe

George A. Baker|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 7

一句话总结

本文提出了一种平滑、连续的度规，可在史瓦西解与弗里德曼-勒梅特膨胀宇宙度规之间插值，解决了标准“瑞士奶酪”模型中轨迹存在的非物理不连续性问题。新度规确保了外曲率与应力-能量张量的连续性，并表明宇宙膨胀对行星轨道的影响可忽略不计——其数量级为 $ H_0^2 $，远低于当前观测极限。

ABSTRACT

The Schwarzchild solution insertion in an expanding universe, the so-called "Swiss cheese model," is shown to possess a very unphysical property. Specifically, in this model some trajectories are discontinuous functions of their initial conditions. An alternate metric is proposed as a remedy. It goes smoothly between the Schwarzchild exterior solution and the Friedmann-Lemaitre, expanding universe metric. It is further shown that the effects of the expansion on planetary motions in the solar system are too small to be currently observed for this alternate metric.

研究动机与目标

• 解决在静态宇宙中束缚系统标准“瑞士奶酪”模型中出现的粒子轨迹非物理不连续性问题。
• 构建一种在静态史瓦西几何与时间相关弗里德曼-勒梅特度规之间平滑过渡的度规。
• 确保应力-能量张量与外曲率在两种度规界面处保持连续。
• 评估在新度规框架下宇宙膨胀对行星轨道动力学的影响程度。
• 证明此类效应在太阳系中过于微弱，无法被观测到，从而验证该模型的物理合理性。

提出的方法

• 提出一种改进的度规，通过在弯曲时空中的史瓦西形式进行调整，确保向弗里德曼-勒梅特度规的平滑过渡。
• 采用非标准的1+2+1时空分解（一个径向坐标、时间与两个角坐标），以直接计算外曲率。
• 计算新度规与标准瑞士奶酪模型的应力-能量张量与外曲率，表明新模型中两者保持连续。
• 推导测试粒子在新度规下的运动方程，并将其转换为以质量集中区为中心的静止参考系。
• 应用弱场、慢速近似，表明对牛顿引力的修正与 $ H_0^2 $ 成正比，且无一阶膨胀效应。
• 使用新度规进行轨道轨迹的数值积分，并与瑞士奶酪模型及牛顿极限下的结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种连续且物理自洽的度规，使其在史瓦西解与膨胀的弗里德曼-勒梅特宇宙之间实现平滑插值？
• RQ2 此类度规对测试粒子轨迹的动力学后果是什么，特别是在静态与膨胀区域界面附近？
• RQ3 在新度规下，太阳系中行星轨道的宇宙膨胀效应是否仍无法被探测到，如同标准模型中的情况？
• RQ4 与瑞士奶酪模型相比，所提出度规在界面处应力-能量张量与外曲率的行为如何？
• RQ5 新度规能否消除在界面附近对初始条件高度敏感的病态轨迹不连续性？

主要发现

• 所提出的度规确保了在史瓦西与弗里德曼-勒梅特区域界面处外曲率与应力-能量张量的连续性，解决了瑞士奶酪模型中的一个关键非物理特征。
• 新度规中的应力-能量张量表现出各向同性压强，且无质量密度通量，应力-能量张量与外曲率均为 $ H_0 $ 与 $ 1/R_{\text{curv}} $ 的二阶量。
• 在弱场极限下，对牛顿运动方程的修正与 $ H_0^2 $ 成正比，且无一阶项，表明在行星尺度上效应可忽略不计。
• 对于太阳系，由于膨胀导致开普勒定律的修正为 $ -3.307 \times 10^{-23} h_{50}^2 \rho^3 $，其中 $ \rho $ 以天文单位表示，确认此类效应远小于可观测阈值。
• 数值解表明，新度规下的轨迹迅速收敛至稳定椭圆轨道，而瑞士奶酪模型中由于动力学不连续，邻近轨迹会剧烈发散。
• 新度规为进入史瓦西区域的粒子产生束缚的、有限尺寸的轨道，避免了瑞士奶酪模型中从闭合轨道到抛物线逃逸的非物理解。