[论文解读] Boundary States for Chiral Symmetries in Two Dimensions

Philip Boyle Smith, David Tong|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Topological Materials and Phenomena参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文构建了1+1维狄拉克费米子的边界态，以保持阿贝尔轴向对称性，推导出边界中心荷和基态简并度的显式公式，其表达式基于费米子的电荷分配。研究发现，所有此类边界态可归为两类——与(−1)^F对称性相关——其区别在于是否存在一个未配对的马约拉纳零模，其中后者由于零模的异常性质而表现出√2的基态简并度。

ABSTRACT

Abstract: We study boundary states for Dirac fermions in d = 1 + 1 dimensions that preserve Abelian chiral symmetries, meaning that the left- and right-moving fermions carry different charges. We derive simple expressions, in terms of the fermion charge assignments, for the boundary central charge and for the ground state degeneracy of the system when two different boundary conditions are imposed at either end of an interval. We show that all such boundary states fall into one of two classes, related to SPT phases supported by (−1)F , which are characterised by the existence of an unpaired Majorana zero mode.

研究动机与目标

• 对1+1维狄拉克费米子系统中保持阿贝尔轴向对称性的边界态进行分类。
• 确定在区间两端施加不同边界条件时的基态简并度。
• 阐明马约拉纳零模在边界共形场论中的作用及其对划分函数的影响。
• 解决费米子最小模型中模非不变性与非整数简并度之间的明显矛盾。

提出的方法

• 在边界共形场论中使用Ishibashi态与Cardy条件构造边界态。
• 施加线性边界条件，将左右移动费米子关联，参数化为相位。
• 应用聚类性质与Cardy-Lewellen缝合条件，确保区间内边界态的一致性。
• 利用自旋结构与模S矩阵计算区间划分函数，并提取基态简并度。
• 分析M(4,3)最小模型以证明单个马约拉纳零模对划分函数的贡献为√2。
• 基于费米子电荷分配与F2上矩阵的零度，推导边界中心荷与基态简并度的一般公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为1+1维狄拉克费米子系统构造保持轴向U(1)对称性的边界态，且左右移动费米子具有不同的电荷？
• RQ2 当在区间的两端施加不同类型的边界条件时，基态简并度由什么决定？
• RQ3 为何单个马约拉纳零模对划分函数的贡献为√2，且这如何与模非不变性保持一致？
• RQ4 这两类边界态是什么，它们如何通过未配对马约拉纳零模的存在与否来分类？
• RQ5 (-1)^F对称性如何对边界态进行分类，其与1+1维中SPT相的关系是什么？

主要发现

• 边界中心荷由费米子电荷分配决定，其公式涉及F2上矩阵的零度。
• 当两端具有相同类型的边界条件（如V-V或A-A）且θ1 = θ2时，基态简并度为2，这是由于存在一个复零模。
• 对于混合边界条件（如V-A或A-V），总存在一个单个马约拉纳零模，导致基态简并度为√2。
• 这两类边界态由未配对马约拉纳零模的存在与否所区分，对应于由(−1)^F保护的不同SPT相。
• 具有边界条件ψL = ±ψR的马约拉纳费米子的划分函数中，零模贡献了√2因子，与理论的模非不变性一致。
• 所有满足边界条件约束的整数解均通过一个晶格Λ[R]参数化，其体积以费米子电荷矩阵及其史密斯标准型显式表示。