[论文解读] Bounded-Degree Graphs have Arbitrarily Large Geometric Thickness

János Barát, Jiřı́ Matoušek+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文证明了有界度图可以具有任意大的几何厚度，反驳了Eppstein的猜想。通过概率和极值组合方法，作者构造出几何厚度至少为 $ c\sqrt{\Delta}\,n^{1/2-4/\Delta-\epsilon} $ 的Δ-正则图，表明即使Δ ≥ 9，几何厚度也并非由最大度数有界。该结果还意味着有界度图的斜率数无上界，从而解决了几何图绘制中的开放问题。

ABSTRACT

The geometric thickness of a graph G is the minimum integer k such that there is a straight line drawing of G with its edge set partitioned into k plane subgraphs. Eppstein [Separating thickness from geometric thickness. In: Towards a Theory of Geometric Graphs, vol. 342 of Contemp. Math., AMS, 2004] asked whether every graph of bounded maximum degree has bounded geometric thickness. We answer this question in the negative, by proving that there exists Delta-regular graphs with arbitrarily large geometric thickness. In particular, for all Delta >= 9 and for all large n, there exists a Delta-regular graph with geometric thickness at least c Delta^{1/2} n^{1/2 - 4/Delta - epsilon}. Analogous results concerning graph drawings with few edge slopes are also presented, thus solving open problems by Dujmovic' et al. [Really straight graph drawings. In: Proc. 12th International Symp. on Graph Drawing (GD '04), vol. 3383 of Lecture Notes in Comput. Sci., Springer, 2004] and Ambrus et al. [The slope parameter of graphs. Tech. Rep. MAT-2005-07, Department of Mathematics, Technical University of Denmark, 2005].

研究动机与目标

• 解决Eppstein关于有界最大度是否蕴含有界几何厚度的开放问题。
• 确立Δ-正则图的几何厚度可随n增长，即使Δ ≥ 9保持固定。
• 将结果扩展至斜率数，表明有界度图可具有任意大的斜率数。
• 通过概率和组合技术提供统一框架，推导几何厚度和斜率参数的下界。

提出的方法

• 使用概率方法构造Δ-正则图，以确保图的扩张性与高几何厚度。
• 在点集与边斜率上应用符号模式论证，以限制低几何厚度或斜率数的图的数量。
• 利用点集的顺序类型数量，通过计数论证推导几何厚度的下界。
• 应用多项式方法与关联几何，以限制绘图中共线子集与边斜率的数量。
• 采用双重计数与渐近不等式，在假设几何厚度或斜率数有界时导出矛盾。
• 将Malitz的书厚度证明方法改编至几何设定，针对凸位置与一般点集之间的差异进行调整。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个最大度有界的图是否都有有界的几何厚度？
• RQ2 Δ-正则图在固定Δ ≥ 9时能否实现任意大的几何厚度？
• RQ3 有界度图的斜率数是否被某个常数有界？
• RQ4 Δ-正则图的几何厚度与斜率参数的渐近下界是什么？

主要发现

• 对所有Δ ≥ 9及ε > 0，存在Δ-正则n顶点图，其几何厚度至少为 $ c\sqrt{\Delta}\,n^{1/2-4/\Delta-\epsilon} $，其中c为绝对常数。
• Δ-正则图的几何厚度并非由Δ的任意函数有界，即使Δ ≥ 9亦然。
• Δ-正则图的斜率数在Δ ≥ 5时无上界，解决了Dujmović等人提出的开放问题。
• 对足够大的n与Δ ≥ 9，Δ-正则图的斜率参数满足 $ \mathsf{sl}(G) > \frac{1}{4}((1-\epsilon)\Delta - 8)n $。
• 几何厚度的下界与平凡上界 $ O(\sqrt{\Delta n}) $ 仅相差一个常数因子。
• 证明技术将Malitz的书厚度结果适配至几何厚度，由于点集构型的差异，获得了更紧的界。