[论文解读] Bounds and Constructions for Multi-Symbol Duplication Error Correcting Codes

Andreas Lenz, Niklas Jünger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2018

Radiation Effects in Electronics被引用 11

一句话总结

本文提出了在任意字母表 $ \mathbb{Z}_p $ 上纠正长度为 $ \ell $ 的 $ t $ 次串联重复的非渐近上界，并提出了两种构造方法。该方法利用球体打包理论推导上界，并通过重复根将串联重复错误映射为零插入错误，从而实现高效码构造，获得高基数。构造2在某些参数下表现出接近最优的性能。

ABSTRACT

In this paper, we study codes correcting $t$ duplications of $\\ell$ consecutive symbols. These errors are known as tandem duplication errors, where a sequence of symbols is repeated and inserted directly after its original occurrence. Using sphere packing arguments, we derive non-asymptotic upper bounds on the cardinality of codes that correct such errors for any choice of parameters. Based on the fact that a code correcting insertions of $t$ zero-blocks can be used to correct $t$ tandem duplications, we construct codes for tandem duplication errors. We compare the cardinalities of these codes with their sphere packing upper bounds. Finally, we discuss the asymptotic behavior of the derived codes and bounds, which yields insights about the tandem duplication channel.

研究动机与目标

• 推导在 $ \mathbb{Z}_p $ 上纠正 $ t $ 次长度为 $ \ell $ 的串联重复码的非渐近上界。
• 提出在任意字母表 $ \mathbb{Z}_p $ 上纠正 $ t $ 次串联重复的显式码构造方法。
• 将码基数与球体打包上界进行比较，并评估效率。
• 分析在串联重复信道中码率与冗余度的渐近行为。
• 将先前针对单次与固定长度重复纠错的研究推广至任意 $ t $、$ \ell $ 与 $ p $。

提出的方法

• 通过在 Levenshtein 距离下使用球体打包论证，推导出 $ t $ 次长度为 $ \ell $ 的串联重复的非渐近上界。
• 通过变换 $ \mathcal{T}(\mathbf{x}) = (y(\mathbf{x}), \mu(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{x})) $ 将串联重复错误映射为单零插入错误，同时保持关键结构成分。
• 通过确保 $ \pi(\mathbf{x}) $ 属于单零插入纠错集合，利用 [2] 中已知构造方法，构建 $ t $-串联重复纠错码。
• 提出基于零插入等价性的构造1，其基数下界通过汉明权重与二项式系数计数推导得出。
• 提出基于重复根的构造2，其中具有不同根的码字具有不相交的错误球，从而实现更高的码率。
• 利用函数 $ \pi(\mathbf{x}) $ 建模重复引起的零插入，实现向已知插入纠错码设计的简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{Z}_p $ 上纠正 $ t $ 次长度为 $ \ell $ 的串联重复码，其基数的非渐近上界是什么？
• RQ2 如何将串联重复错误转换为零插入错误，以利用现有的插入纠错码构造？
• RQ3 与直接插入映射方法相比，基于重复根的构造在基数上能带来多大增益？
• RQ4 所提码的冗余度与球体打包上界及先前构造相比如何？
• RQ5 当 $ n $、$ t $ 与 $ \ell $ 变化时，码率与冗余度的渐近行为如何？

主要发现

• 通过误差球体积论证，$ t $-串联重复纠错码的球体打包上界为 $ |\mathcal{C}| \lesssim \frac{p^n}{n^t (p-1)^t} $。
• 构造1的基数下界为 $ |\mathcal{C}^1| \geq \sum_{r=0}^{n-\ell} \frac{N_{p,\ell}(n-\ell,r) \binom{r}{t}}{(2r+1)^t} $，其中 $ N_{p,\ell}(n,r) $ 表示具有 $ r $ 个非零符号且不含 $ \ell $ 个连续零的字符串数量。
• 构造2通过利用不同重复根的码字具有不相交错误球的特性，实现了比构造1更高的基数，其下界为 $ |\mathcal{C}^2| \geq p^\ell \sum_{w=0}^{\lfloor n/\ell \rfloor - 1} \sum_{r=0}^{n-(w+1)\ell} \frac{N_{p,\ell}(n-(w+1)\ell,r) \binom{r+w}{w}}{(2\max(r,t)+1)^t} $。
• 当 $ t=1 $ 时，[10, Cor. 1] 的结果是紧的，并与球体打包上界一致，验证了该方法的有效性。
• 如图1与图2的冗余度图所示，构造2在某些参数集合下接近最优基数。
• 纠正 $ t $ 次重复所需的冗余度随 $ \ell $ 增大而减少，证实较长的重复长度可降低码率损失。