[论文解读] Bounds for the regularity of edge ideal of vertex decomposable and shellable graphs

Somayeh Moradi, Dariush Kiani|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用 18

一句话总结

该论文利用图不变量，为顶点可分解图和可壳化图的边理想建立了 Castelnuovo-Mumford 正则性的上界。证明了对于顶点可分解图，reg(R/I(G)) ≤ min{a′(G), n(G)}；对于可壳化图，reg(R/I(G)) ≤ n(G)，并在补图为 d-树时得出了关于投射维数的附加结果。

ABSTRACT

In this paper we give upper bounds for the regularity of edge ideal of some classes of graphs in terms of invariants of graph. We introduce two numbers $a'(G)$ and $n(G)$ depending on graph $G$ and show that for a vertex decomposable graph $G$, $\ eg(R/I(G))\\leq \\min\\{a'(G),n(G)\\}$ and for a shellable graph $G$, $\ eg(R/I(G))\\leq n(G)$. Moreover it is shown that for a graph $G$, where $G^c$ is a $d$-tree, we have $\\pd(R/I(G))=\\max_{v\\in V(G)} \\{\\deg_G(v)\\}$.

研究动机与目标

• 通过图论不变量推导顶点可分解图和可壳化图的边理想正则性的上界。
• 引入并分析两个新的图不变量 a′(G) 和 n(G)，以界定边理想的正则性。
• 当补图 G^c 为 d-树时，刻画 R/I(G) 的投射维数。
• 将已知关于特殊图类中边理想的正则性和投射维数的结果进行推广。
• 阐明边理想中代数不变量（reg, pd）与组合性质（匹配、路径、度数）之间的关系。

提出的方法

• 将 a′(G) 定义为图 G 中长度 ≤2 的顶点不相交路径的最大数量，其中长度为 1 的路径为 3-不相交。
• 将 n(G) 定义为与独立集结构及可壳性相关的图不变量。
• 利用独立复形 Δ_G 的顶点分解与可壳性，推导 reg(R/I(G)) 的上界。
• 应用定理 B：对于方阵单项式理想，有 reg(R/I(G)) = pd(I(G)^∨)。
• 对 |V(G)| 进行归纳，并利用 Alexander 对偶性，证明投射维数的上界。
• 当 G^c 为 d-树时，刻画边理想的线性商与集合序列，从而导出 pd(R/I(G)) 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于顶点可分解图，能否基于图不变量建立 reg(R/I(G)) 的上界？
• RQ2 边理想正则性与独立复形中独立集结构及可壳性的关系如何？
• RQ3 当 G^c（即 G 的补图）满足何种条件时，pd(R/I(G)) 等于 G 中顶点的最大度数？
• RQ4 可壳化图的边理想正则性能否仅由 n(G) 界定？
• RQ5 当 G^c 为 d-树时，能否对边理想的投射维数进行刻画？

主要发现

• 对于任意顶点可分解图 G，有 reg(R/I(G)) ≤ min{a′(G), n(G)}。
• 对于任意可壳化图 G，有 reg(R/I(G)) ≤ n(G)。
• 若 G^c 为 d-树，则 pd(R/I(G)) = max_{v∈V(G)}{deg_G(v)}。
• 当 G^c 为无三角形图时，有 reg(R/I(G)) ≤ 2。
• 当 G^c 为 d-树时，R/I(G) 的投射维数由 G 中顶点的最大度数决定。
• 当 G^c 为 d-树时，边理想 I(G) 具有线性商，从而可显式计算 pd(R/I(G))。