[论文解读] BPS/CFT correspondence II: Instantons at crossroads, Moduli and Compactness Theorem

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 86

一句话总结

本文在卡拉比-丘四fold中的分层时空上，引入了广义瞬子模空间——尖刺、交叉与折叠瞬子，将Gieseker-Nakajima构造推广至具有表面缺陷和点缺陷的非交换规范理论。核心贡献是这些模空间中环面固定点的紧致性定理，该定理通过$qq$-特征为${\mathcal{N}}=2$丛射规范理论中的非微扰Dyson-Schwinger恒等式提供了基础。

ABSTRACT

Gieseker-Nakajima moduli spaces $M_{k}(n)$ parametrize the charge $k$ noncommutative $U(n)$ instantons on ${\\bf R}^{4}$ and framed rank $n$ torsion free sheaves $\\mathcal{E}$ on ${\\bf C\\bf P}^{2}$ with ${\ m ch}_{2}({\\mathcal{E}}) = k$. They also serve as local models of the moduli spaces of instantons on general four-manifolds. We study the generalization of gauge theory in which the four dimensional spacetime is a stratified space $X$ immersed into a Calabi-Yau fourfold $Z$. The local model ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ of the corresponding instanton moduli space is the moduli space of charge $k$ (noncommutative) instantons on origami spacetimes. There, $X$ is modelled on a union of (up to six) coordinate complex planes ${\\bf C}^{2}$ intersecting in $Z$ modelled on ${\\bf C}^{4}$. The instantons are shared by the collection of four dimensional gauge theories sewn along two dimensional defect surfaces and defect points. We also define several quiver versions ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$ of ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$, motivated by the considerations of sewn gauge theories on orbifolds ${\\bf C}^{4}/{\\Gamma}$. The geometry of the spaces ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$, more specifically the compactness of the set of torus-fixed points, for various tori, underlies the non-perturbative Dyson-Schwinger identities recently found to be satisfied by the correlation functions of $qq$-characters viewed as local gauge invariant operators in the ${\\mathcal{N}}=2$ quiver gauge theories. The cohomological and K-theoretic operations defined using ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ and their quiver versions as correspondences provide the geometric counterpart of the $qq$-characters, line and surface defects.

研究动机与目标

• 将瞬子的ADHM构造推广至卡拉比-丘四fold中分层时空上的非交换规范理论。
• 在${\mathbb{C}}^4$中相交的${\mathbb{C}}^2$平面并集中定义尖刺、交叉与折叠瞬子的模空间，以建模具有表面缺陷和点缺陷的规范理论。
• 建立这些模空间中环面固定点的紧致性定理，从而支持超对称规范理论中的非微扰恒等式。
• 为${\mathcal{N}}=2$丛射规范理论中的$qq$-特征及线/表面缺陷提供几何基础。

提出的方法

• 在${\mathbb{C}}^4$中坐标${\mathbb{C}}^2$平面的并集上引入尖刺瞬子的广义ADHM方程，由电荷$k$和框架数据$\vec{n}$参数化。
• 通过群$\Gamma \subset SU(4)$的轨道作用和表示$\mathcal{R}_{\vec{\omega}}$定义模空间的丛射版本${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$。
• 利用环面等变上同调与K-理论，定义实现$qq$-特征为规范不变算符的对应关系。
• 通过在$\Gamma$-分次分量$K_{A,\vec{\omega}}$上使用迹泛函$\delta_{A,\vec{\omega},n}$估计算符$B_a$和$I_C$的范数，以控制增长并证明固定点集的紧致性。
• 应用局部化技术和解析性，对模空间进行积分，将其与规范理论中的相关函数联系起来。
• 将紧致性论证推广至包含$\vec{\omega}$-分次的$\Gamma$-等变框架层$K_{A,\vec{\omega}}$的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将ADHM构造推广至卡拉比-丘四fold中相交${\mathbb{C}}^2$平面的分层时空上的非交换瞬子？
• RQ2 带有表面缺陷和点缺陷的尖刺瞬子模空间的结构是什么？它与丛射规范理论有何关联？
• RQ3 在尖刺瞬子模空间中，环面固定点集在何种条件下是紧致的？
• RQ4 这些模空间上的上同调与K-理论操作如何实现$qq$-特征与缺陷算符？
• RQ5 丛结构需满足何种约束，以保持固定点集的紧致性？

主要发现

• 在${\mathbb{C}}^4$中六个${\mathbb{C}}^2$平面并集上的尖刺瞬子模空间${{\mathfrak{M}}}_{k}^{*}(\vec{n})$是良好定义的，并可通过环面固定点分析实现紧致化。
• $ {{\mathfrak{M}}}_{k}(\vec{n})$中$\Gamma$-固定点的集合分解为分量${{\mathfrak{M}}}_{\underline{\mathbf{k}}}^{\gamma_{\Gamma}}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$，每个分量参数化具有$\Gamma$-等变框架和缺陷数据的瞬子。
• 在各种环面前提下，固定点集的紧致性定理成立，通过在$\Gamma$-分次分量$K_{A,\vec{\omega}}$上使用迹泛函$\delta_{A,\vec{\omega},n}$对范数$\|B_a\|^2$进行有界估计而得证。
• 丛射模空间${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$推广了原始模空间，并在相同条件下支持紧致性定理。
• 固定点的紧致性使得能够推导出${\mathcal{N}}=2$丛射规范理论中$qq$-特征的非微扰Dyson-Schwinger恒等式。
• 该构造通过模空间为$qq$-特征提供了几何实现，作为上同调与K-理论场论中的对应关系。