[论文解读] Brace Bar-Cobar Duality

Justin Young|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了从霍普夫代数到 $\mathcal{S}_2$-代数的增强巴尔构造 $B$ 的严格左伴随 $\times\Omega$ 与余巴构造 $\Omega$ 之间的同伦等价，证明了作为 $\mathcal{S}_2$-代数，$\u03a9BA$ 同伦等价于 $A$。利用基德伊什维利公式并修正符号后，表明 $\u03a9(UL)^\vee$ 同伦等价于契瓦莱-艾连堡上链复形 $C^*(L)$，这意味着在某些条件下，$S^*(X)$ 同伦等价于一个交换代数。

ABSTRACT

Using Kadeishvili's formulas with appropriate signs, we show that the classical cobar construction from coalgebras to algebras Ω: CoAlg -> Alg can be enhanced to a functor from Hopf algebras to E_2 algebras (for a certain choice of E_2 operad) Ω: HopfAlg -> E_2 Alg, which, unlike its classical counterpart, is not strictly adjoint, but homotopically equivalent to the left adjoint of the enhanced bar construction B: E_2 Alg -> HopfAlg studied by Gerstenhaber--Voronov and Fresse.

研究动机与目标

• 通过增强的巴尔与余巴函子，在 $\mathcal{S}_2$-代数与霍普夫代数之间建立同伦关系。
• 通过证明 $\Omega BA \simeq A$ 作为 $\mathcal{S}_2$-代数，解决弗雷斯对 $n=2$ 的猜想。
• 在 $1/2 \in R$ 的假设下，证明 $\Omega(UL)^\vee$ 同伦等价于 $C^*(L)$，即一个交换的 $\mathcal{S}_2$-代数。
• 为通过其关联的霍普夫代数 $BS^*(X)$ 研究上链代数 $S^*(X)$ 提供一个框架，实现同伦论上的重构。

提出的方法

• 使用基德伊什维利的符号修正公式，增强经典巴尔构造 $B: \mathcal{S}_2\text{-Alg} \to \text{HopfAlg}$ 和余巴构造 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$。
• 引入巴尔构造 $B$ 的严格左伴随 $\widetilde{\Omega}: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$，并构造自然同伦等价 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$。
• 使用导子同伦 $h$ 构造链同伦，满足 $\partial h + h\partial = \text{id} - p$，其中 $p$ 是到巴尔构造像的投影。
• 应用扭转态射 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$，其对偶为包含映射 $C_*(L) \to BUL$，以关联 $\Omega(UL)^\vee$ 与契瓦莱-艾连堡复形。
• 证明扭转态射 $\alpha$ 是霍普夫扭转态射，意味着 $\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$ 是 $\mathcal{S}_2$-代数之间的弱等价。
• 依赖于 $\mathcal{S}_2$-代数上的半模型结构（由曼德尔建立），在霍普夫代数上无模型结构的情况下，定义同伦余极限与映射空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 余巴构造 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 是否与巴尔构造 $B$ 的严格左伴随 $\widetilde{\Omega}$ 同伦等价？
• RQ2 $\Omega BA$ 是否对任意 $\mathcal{S}_2$-代数 $A$ 同伦等价于原始的 $\mathcal{S}_2$-代数 $A$？
• RQ3 $\Omega(UL)^\vee$ 是否作为 $\mathcal{S}_2$-代数同伦等价于契瓦莱-艾连堡上链复形 $C^*(L)$？
• RQ4 能否通过巴尔-余巴伴随关系，从霍普夫代数 $BS^*(X)$ 恢复上链代数 $S^*(X)$ 的 $\mathcal{S}_2$-代数结构？

主要发现

• 余巴构造 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 与巴尔构造 $B$ 的严格左伴随 $\widetilde{\Omega}$ 同伦等价，建立了 $\text{HopfAlg}$ 与 $\mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 之间的右半模型逼近。
• 弗雷斯猜想 $\Omega BA \simeq A$ 作为 $\mathcal{S}_2$-代数在 $n=2$ 时成立，其等价性通过自然变换 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$ 实现。
• 在 $1/2 \in R$ 的假设下，$\mathcal{S}_2$-代数 $\Omega(UL)^\vee$ 同伦等价于 $C^*(L)$，即李代数 $L$ 的契瓦莱-艾连堡上链复形，表明 $\Omega(UL)^\vee$ 同伦交换。
• 扭转态射 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$ 是霍普夫扭转态射，其对偶诱导出 $\mathcal{S}_2$-代数之间的弱等价 $\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$。
• 结果表明，对于足够连通且低维的拓扑空间 $X$，上链代数 $S^*(X)$ 作为 $\mathcal{S}_2$-代数同伦等价于一个严格交换代数 $C^*(L_X)$，其中 $BS^*(X) \simeq (UL_X)^\vee$。
• 该构造为通过霍普夫代数研究 $\mathcal{S}_2$-代数提供了同伦框架，即使霍普夫代数上不存在模型结构，也因 $\mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 上的半模型结构而成立。