[论文解读] Braided Lie algebras and bicovariant differential calculi over coquasitriangular Hopf algebras

X. Gomez, Shahn Majid|ArXiv.org|Dec 28, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了在共量子三角双代数 $ A $ 上的双不变一阶微分演算 $ g_\Gamma $ 的量子普遍包络代数 $ U(g_\Gamma) $，通过一个自然扩张 $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ 构成的辫子李代数，可在 $ A $-余模的辫子范畴中赋予双代数结构。关键结果是 $ U(g_\Gamma) $ 同构于 $ \tilde{g}_\Gamma $ 的子代数的辫子普遍包络代数，且当微分演算为内蕴时，该代数为二次代数，对 $ n=2 $ 恢复了已知的维滕代数。

ABSTRACT

We show that if $g_Γ$ is the quantum tangent space (or quantum Lie algebra in the sense of Woronowicz) of a bicovariant first order differential calculus over a coquasitriangular Hopf algebra $(A,r)$, then a certain extension of it is a braided Lie algebra in the category of $A$-comodules. This is used to show that the Woronowicz quantum universal enveloping algebra $U(g_Γ)$ is a bialgebra in the braided category of $A$-comodules. We show that this algebra is quadratic when the calculus is inner. Examples with this unexpected property include finite groups and quantum groups with their standard differential calculi. We also find a quantum Lie functor for coquasitriangular Hopf algebras, which has properties analogous to the classical one. This functor gives trivial results on standard quantum groups $O_q(G)$, but reasonable ones on examples closer to the classical case, such as the cotriangular Jordanian deformations. In addition, we show that split braided Lie algebras define `generalised-Lie algebras' in a different sense of deforming the adjoint representation. We construct these and their enveloping algebras for $O_q(SL_n)$, recovering the Witten algebra for $n=2$.

研究动机与目标

• 解决在 $ A $ 为共量子三角双代数时，为量子普遍包络代数 $ U(g_\Gamma) $ 赋予双代数或双李代数结构的开放问题。
• 在沃罗诺维奇的双不变微分演算与辫子李代数理论之间建立系统性联系。
• 为共量子三角双代数构造一个量子李函子，推广经典李函子。
• 证明当微分演算为内蕴时，$ U(g_\Gamma) $ 是二次双代数，并将其结构识别为辫子普遍包络代数。
• 通过分裂辫子李代数定义并研究“广义李代数”，在 $ n=2 $ 时恢复维滕代数。

提出的方法

• 定义 $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ 为量子切空间 $ g_\Gamma $ 的扩张，并证明其在 $ A $-余模范畴中具有自然的辫子李代数结构。
• 利用 $ A $ 上的共量子三角结构 $ r $ 定义辫子范畴，从而在 $ U(g_\Gamma) $ 上构造辫子双代数结构。
• 构造辫子普遍包络代数 $ B(\tilde{g}_\Gamma) $，其作为 $ U(g_\Gamma) $ 的二次中心扩张，且 $ U(g_\Gamma) $ 是其商代数。
• 利用辫子群 $ A $（即 $ A $ 的辫子版本）对 $ A/I $ 上的代数结构进行对偶化，从而在 $ \tilde{g}_\Gamma $ 上诱导出余代数结构。
• 应用分裂辫子李代数理论，定义广义李代数 $ \mathfrak{sl}_q(n) $，其中 $ \mathfrak{sl}_q(n) = \ker \epsilon \subset \tilde{g}_\Gamma $，并构造其约化包络代数。
• 使用 $ R $-矩阵公式与显式计算，推导出 $ U(g_\Gamma) $ 生成元的对易关系，包括卡坦型关系与根向量对易子关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为共量子三角双代数 $ A $ 上的双不变一阶微分演算 $ g_\Gamma $ 的 $ U(g_\Gamma) $ 核心地定义双代数结构？
• RQ2 在何种条件下 $ U(g_\Gamma) $ 是二次代数，且这与内蕴微分演算有何关联？
• RQ3 在 $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ 上的辫子李代数结构在赋予 $ U(g_\Gamma) $ 双代数结构中起什么作用？
• RQ4 共量子三角双代数的量子李函子与经典李函子有何不同，其非平凡输出为何？
• RQ5 广义李代数 $ \mathfrak{sl}_q(n) $ 的结构如何，其约化包络代数与 $ n=2 $ 时的维滕代数有何关系？

主要发现

• 扩张 $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ 是 $ A $-余模范畴中的辫子李代数，为双代数构造提供了基础结构。
• 在内蕴微分演算下，$ U(g_\Gamma) $ 是二次双代数，且同构于 $ \tilde{g}_\Gamma $ 的辫子李子代数 $ L \subset \tilde{g}_\Gamma $ 的辫子普遍包络代数 $ B(L) $，且 $ \dim L = \dim g_\Gamma $。
• 对于标准量子群 $ O_q(G) $，$ U(g_\Gamma) $ 同构于辫子矩阵代数 $ B(R) $，因此继承了辫子范畴中的双代数结构。
• 约化包络代数 $ B_{\text{red}}(\mathfrak{sl}_q(n)) $，定义为 $ B(\hat{\mathfrak{sl}}_q(n)) / \langle \text{tr} - \epsilon(\text{tr}) \lambda \rangle $，在 $ n=2 $ 时与维滕代数一致，从而将维滕代数推广至更高 $ n $。
• 在许多情形下，如 $ O_q(G) $ 或有限群上的有限维双不变演算，$ U(g_\Gamma) $ 上不存在反极，原因在于辫子普遍包络代数 $ B(L) $ 中反极的缺失。
• 通过 $ R $-矩阵公式推导出 $ U(g_\Gamma) $ 生成元的显式对易关系，包括卡坦型关系与根向量对易子，且在 $ n=2 $ 情形下退化为已知结果。