[论文解读] Branching diffusions in random environment

Christian Böinghoff, Martin Hutzenthaler|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 19

一句话总结

本文研究了一类随机环境中分支过程（BPRE）的扩散近似，称为随机环境中的分支扩散（BDRE），其由带三个参数的随机微分方程（SDE）所控制：漂移参数 α、环境波动率 σₑ 和分支波动率 σ_b。主要贡献在于精确的渐近存活概率，揭示了亚临界区域中的相变现象：在强亚临界情况下，存活依赖于一个永生个体；而在弱亚临界情况下，即使没有永生个体，由于条件过程中的有效分支为超临界，存活仍可维持。

ABSTRACT

We consider the diffusion approximation of branching processes in random environment (BPREs). This diffusion approximation is similar to and mathematically more tractable than BPREs. We obtain the exact asymptotic behavior of the survival probability. As in the case of BPREs, there is a phase transition in the subcritical regime due to different survival opportunities. In addition, we characterize the process conditioned to never go extinct and establish a backbone construction. In the strongly subcritical regime, mean offspring numbers are increased but still subcritical in the process conditioned to never go extinct. Here survival is solely due to an immortal individual, whose offspring are the ancestors of additional families. In the weakly subcritical regime, the mean offspring number is supercritical in the process conditioned to never go extinct. Thus this process survives with positive probability even if there was no immortal individual.

研究动机与目标

• 分析随机环境中分支过程（BPRE）的扩散近似，其相较于离散BPRE更具数学可处理性。
• 刻画BDRE模型中存活概率的精确渐近行为。
• 研究由于不同存活机制导致的亚临界区域中的相变现象。
• 通过骨干分解法构造条件非灭绝过程。
• 阐明永生个体与条件过程中有效分支率的作用。

提出的方法

• BDRE被建模为一组带独立布朗运动 W^(b) 和 W^(e) 的随机微分方程（SDE）的强解 (Z_t, S_t)。
• SDE方程为：dZ_t = (1/2)σₑ²Z_t dt + Z_t dS_t + √(σ_b²Z_t) dW^(b)_t 和 dS_t = α dt + σₑ dW^(e)_t。
• 通过拉普拉斯变换与相关SDE的渐近分析推导出存活概率。
• 通过将过程分解为一个永生谱系与Feller分支扩散的抽离过程中的移民，建立骨干构造。
• 采用时间变换SDE方法，将条件过程与带移民的Feller过程联系起来。
• 通过弱解与列维特征刻画验证理论结果，确认扩散结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在BPRE的扩散近似中，存活概率的精确渐近行为是什么？
• RQ2 由于不同的存活机制，亚临界区域如何表现出相变？
• RQ3 在条件永不灭绝的过程中，永生个体的作用是什么？
• RQ4 条件过程中有效分支率如何变化？它是否保持亚临界或变为超临界，由什么决定？
• RQ5 能否通过骨干分解构造条件非灭绝过程？它与带移民的Feller过程有何关系？

主要发现

• 存活概率在亚临界区域表现出相变，取决于条件过程中有效分支率是否为亚临界或超临界。
• 在强亚临界区域（α ≤ -σₑ²/2），存活仅依赖于一个永生个体，且有效平均后代数保持亚临界。
• 在弱亚临界区域（α > -σₑ²/2），条件过程中有效平均后代数变为超临界，使得即使没有永生个体，存活仍可维持。
• 通过包含一个永生谱系与Feller分支扩散抽离过程中的移民的骨干分解，构造了条件非灭绝过程。
• 证明了条件过程在分布上等价于一个时间变换后的带移民Feller过程，为骨干提供了概率解释。
• 推导出存活概率与拉普拉斯变换的显式公式，清晰分离了分支与环境参数的贡献。