[论文解读] Breaking the $2^n$ barrier for 5-coloring and 6-coloring

Or Zamir|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 27被引用 2

一句话总结

本论文首次提出了5-着色和6-着色图的O((2−ε)^n)算法，打破了k > 4时k-着色问题长期存在的2^n时间瓶颈。关键创新在于对(α,Δ)-有界图（即至少有α·n个度数≤Δ的顶点的图）的广义色数计算，该方法通过一种新颖的子集移除引理与递归收缩技术实现，从而为这些情形提供了亚指数时间解法，并进一步推广至列表着色问题。

ABSTRACT

The coloring problem (i.e., computing the chromatic number of a graph) can be solved in O^*(2ⁿ) time, as shown by Björklund, Husfeldt and Koivisto in 2009. For k = 3,4, better algorithms are known for the k-coloring problem. 3-coloring can be solved in O(1.33ⁿ) time (Beigel and Eppstein, 2005) and 4-coloring can be solved in O(1.73ⁿ) time (Fomin, Gaspers and Saurabh, 2007). Surprisingly, for k > 4 no improvements over the general O^*(2ⁿ) are known. We show that both 5-coloring and 6-coloring can also be solved in O((2-ε) ⁿ) time for some ε > 0. As a crucial step, we obtain an exponential improvement for computing the chromatic number of a very large family of graphs. In particular, for any constants Δ,α > 0, the chromatic number of graphs with at least α⋅ n vertices of degree at most Δ can be computed in O((2-ε) ⁿ) time, for some ε = ε_{Δ,α} > 0. This statement generalizes previous results for bounded-degree graphs (Björklund, Husfeldt, Kaski, and Koivisto, 2010) and graphs with bounded average degree (Golovnev, Kulikov and Mihajlin, 2016). We generalize the aforementioned statement to List Coloring, for which no previous improvements are known even for the case of bounded-degree graphs.

研究动机与目标

• 为克服k > 4时k-着色问题的2^n时间瓶颈，此前在该范围内尚未有超越通用O*(2^n)算法的改进。
• 为计算(α,Δ)-有界图的色数设计亚指数时间算法，其中(α,Δ)-有界图定义为至少含有α·n个度数≤Δ的顶点的图。
• 将这些技术推广至更一般的列表着色问题，此前即使在有界度图的情形下也未见相关改进。
• 建立一个理论基础，以期为所有k-着色问题设计出O*((2−ε_k)^n)算法。

提出的方法

• 引入一种新的子集移除引理，用于识别并收缩低度顶点集合，同时以正概率保持k-着色性。
• 采用递归收缩策略：若图是k-可着色的，则随机移除一个顶点子集，使得剩余图在高概率下仍保持k-可着色性。
• 使用混合算法，结合小图的基例处理与对收缩图的递归调用，通过标志机制在不同策略间切换。
• 将该方法应用于(α,Δ)-有界图，证明对于任意Δ, α > 0，色数可在O*((2−ε_Δ,α)^n)时间内计算，其中ε_Δ,α > 0。
• 通过将收缩与递归框架适配至每个顶点的允许颜色列表，将方法扩展至列表着色问题。
• 利用概率分析与归纳法，界定递归算法的成功概率与期望运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 5-着色能否在O*((2−ε)^n)时间内求解（ε > 0），从而打破2^n时间瓶颈？
• RQ2 该改进是否同样适用于6-着色，以及更一般地，适用于所有k > 4的k-着色问题？
• RQ3 (α,Δ)-有界图的色数能否在亚指数时间内计算？若能，其条件是什么？
• RQ4 该技术能否推广至列表着色问题，即每个顶点有其允许的颜色列表？
• RQ5 是否可能设计一种通用框架，使k-着色问题的算法时间复杂度达到O*((2−ε)^n)，从而突破平凡的O*(k^n)上界？

主要发现

• (α,Δ)-有界图的色数可在O*((2−ε_Δ,α)^n)时间内计算，其中ε_Δ,α > 0，该结果推广了此前针对有界度图与有界平均度图的研究成果。
• 首次提出5-着色与6-着色的O*((2−ε)^n)算法，实现了k > 4情形下的亚指数时间复杂度。
• 该算法的成功概率至少为(2−ε)^-(n+1)，且期望运行时间为O*(( (2−ε₁)/(2−ε) )^n)，其中ε₁ < ε。
• 通过重复执行该算法O(n·(2−ε)^n)次，可将成功概率提升至高概率，总期望时间复杂度为O*(n·(2−ε₁)^n)。
• 该方法可推广至列表着色问题，在(α,Δ)-有界设置下首次提供了亚指数时间算法。
• 子集移除引理是关键技术贡献，使得在保持k-可着色性正概率的前提下，能够实施递归收缩策略。