[论文解读] Brill-Noether Sheaves

Rainer Weissauer|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文通过曲线上delta层的迭代卷积构造了阿贝尔簇上雅可比簇的 perverse 层，引入了 Brill-Noether 层。对于非双全纯曲线，r重卷积的 perverse 部分是不可约的，且对应于差集簇 $W_r - W_r$ 的交点上同调，从而建立了一个等价于 $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 或 $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 的 Tannakian 范畴，具体取决于双全纯性。

ABSTRACT

We construct a $\bar Q_l$-linear Tannakian category attached to a smooth projective curve C equivalent to the category of finite dimensional $\bar Q_l$-representations Rep(G), where G is $Sp(2g-2,\bar Q_l)$ or $Sl(2g-2,\bar Q_l)$ depending on whether C is hyperelliptic or not.

研究动机与目标

• 定义并研究在曲线上雅可比簇中由曲线上 delta 层的迭代卷积产生的 perverse 层。
• 理解曲线上 delta 层在雅可比簇中 r 重自卷积的结构，特别是其在 perverse 部分与平凡部分的分解。
• 建立一个与 $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 或 $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 等价的 Tannakian 范畴 $\mathcal{BN}$，具体取决于双全纯性。
• 将这些卷积的 perverse 分量与 Brill-Noether 簇及其上同调联系起来。

提出的方法

• 在阿贝尔簇上 $\overline{\mathbb{Q}}_l$-层的导出范畴中使用卷积积，通过群法则定义。
• 应用 perverse t-结构截断，从迭代卷积 $\delta_{Y_1} * \cdots * \delta_{Y_r}$ 中提取 perverse 部分 $^p\delta_\alpha$。
• 应用 Littlewood-Richardson 法则，分解差映射下卷积积的直接像。
• 对由 perverse 分量生成的半单范畴 $\mathcal{BN}'$ 应用 Tannakian 形式化，将 Tannakian 群识别为 $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 或 $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$。
• 利用对偶性、刚性与强 Lefschetz 定理分析卷积积的 stalk 与上同调。
• 依赖对称幂与张量范畴的结构，推导表示论分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在雅可比簇中，曲线上 delta 层的迭代卷积如何分解为 perverse 与平凡部分？
• RQ2 由这些卷积的 perverse 分量生成的范畴的 Tannakian 结构是什么？
• RQ3 差集簇 $W_r - W_r$ 的上同调层如何与 perverse 层 $^p\delta_{\chi - r, r}$ 相关？
• RQ4 在何种条件下，perverse 层 $^p\delta_{\chi - r, r}$ 是不可约的？
• RQ5 对于给定曲线，Tannakian 范畴 $\mathcal{BN}$ 的精确群论实现是什么？

主要发现

• 对于 genus $g \geq 3$ 的非双全纯曲线 $C$，当 $r < g/2$ 时，perverse 层 $^p\delta_{\chi - r, r}$ 是不可约的。
• 由 perverse 分量构成的范畴 $\mathcal{BN}$ 是 Tannakian 的，且与 $\mathrm{Rep}(G)$ 等价，其中 $G = \mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 若 $C$ 为非双全纯曲线。
• 层 $^p\delta_{\chi - r, r}$ 同构于 $\delta_{W_r - W_r}$，即差集簇 $W_r - W_r \subseteq J(C)$ 的交点上同调层，当 $r < g/2$ 时。
• 直接像 $Rf_*\delta_{W_r \times W_s}$ 分解为 $\delta_{\chi - s, r} \oplus Rf_*\delta_{W_{r-1} \times W_{s-1}}$，其中 $\delta_{\chi - s, r} = {}^p\delta_{\chi - s, r} \oplus T(r,s)$，$T(r,s)$ 是常层的平移。
• 若 $C$ 为双全纯曲线，则 $\mathcal{BN}$ 的 Tannakian 群为 $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$；否则为 $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$。
• 该构造通过不可约的 perverse 层 $^p\delta_{\chi - r, r}$ 显式描述了 $W_r - W_r$ 的交点上同调。