[论文解读] Brownian-time Brownian motion SIEs on $\Rp imes\Rd$: Ultra Regular direct and lattice-limits solutions and fourth order SPDEs links

Hassan Allouba|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文引入了在 ℝ₊×ℝᵈ 上的布朗运动时间布朗运动随机积分方程（BTBM SIEs），在漂移系数满足利普希茨及弱于利普希茨条件时，证明了在 d=1,2,3 维下解的存在性及其超正则的赫尔德连续性。通过一种新型 K-鞅方法与布朗运动时间随机游走的格点极限，建立了新的时空正则性结果（在 d=1,2 时近乎局部利普希茨，在 d=3 时空间赫尔德指数为 1/2，时间赫尔德指数为 γ∈(0,(4−d)/8)），并揭示了 BTBM SIEs 与四阶 SPDEs（包括柯朗-西瓦什insky型方程）之间的联系。

ABSTRACT

We delve deeper into the compelling regularizing effect of the Brownian-time Brownian motion density, $\KBtxy$, on the space-time-white-noise-driven stochastic integral equation we call BTBM SIE, which we recently introduced. In sharp contrast to second order heat-based SPDEs--whose real-valued mild solutions are confined to $d=1$--we prove the existence of solutions to the BTBM SIE in $d=1,2,3$ with dimension-dependent and striking Holder regularity, under both less than Lipschitz and Lipschitz conditions. In space, we show an unprecedented nearly local Lipschitz regularity for $d=1,2$--roughly, the SIE is spatially twice as regular as the Brownian sheet in these dimensions--and nearly local Hölder 1/2 regularity in d=3. In time, our solutions are locally Hölder continuous with exponent $γ\in(0,(4-d)/(8))$ for $1\le d\le3$. To investigate our SIE, we (a) introduce the Brownian-time random walk and we use it to formulate the spatial lattice version of the BTBM SIE; and (b) develop a delicate variant of Stroock-Varadhan martingale approach, the K-martingale approach, tailor-made for a wide variety of kernel SIEs including BTBM SIEs and the mild forms of many SPDEs of different orders on the lattice. Here, solutions types to our SIE are both direct and limits of their lattice version. The BTBM SIE is intimately connected to intriguing fourth order SPDEs in two ways. First, we show that it is connected to the diagonals of a new unconventional fourth order SPDE we call parametrized BTBM SPDE. Second, replacing $\KBtxy$ by the intimately connected kernel of our recently introduced imaginary-Brownian time-Brownian-angle process (IBTBAP), our SIE becomes the mild form of a Kuramoto-Sivashinsky SPDE with linear PDE part. Ideas developed here are adapted in separate papers to give a new approach, via our explicit IBTBAP representation, to many KS-type SPDEs in multi spatial dimensions.

研究动机与目标

• 在空间维数 d=1,2,3 的 ℝ₊×ℝᵈ 上，建立布朗运动时间布朗运动随机积分方程（BTBM SIEs）解的存在性及其精确的赫尔德正则性。
• 通过证明在漂移系数 a 满足弱于利普希茨条件时解的存在性，将理论拓展至经典二阶 SPDE 之外。
• 提出一种基于格点的新方法，利用布朗运动时间随机游走（BTRW）及其极限来定义解，而无需离散化。
• 建立 BTBM SIEs 与四阶 SPDEs 之间的直接联系，包括参数化的 BTBM SPDEs 和线性化柯朗-西瓦什insky SPDEs。
• 引入并应用一种新型 K-鞅方法——斯特朗-瓦拉达南方法的定制变体——以处理任意阶次的基于核的 SIEs 与 SPDEs。

提出的方法

• 引入 BTBM SIE：U(t,x) = ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ;ₓ,ᵧ u₀(y)dy + ∫₀ᵗ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ₋ₛ;ₓ,ᵧ a(U(s,y))𝕎(ds×dy)，其中 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈ 为 BTBM 转移密度。
• 在格点 ℤᵈδₙ 上构建布朗运动时间随机游走（BTRW），作为 BTBM 过程的离散逼近，从而实现基于格点的 SIEs。
• 应用一种新型 K-鞅方法——源自斯特朗-瓦拉达南理论的改编——以证明格点 BTRW SIEs 的路径唯一性与解的存在性。
• 利用伊藤公式与离散微分算子（Δₙ, Δₙ²）推导出 BTRW 过程的微分-差分方程（DDE）关联关系。
• 通过紧致性与正则性估计，证明格点解收敛于连续 BTBM SIE，从而证明极限解的存在性。
• 表明将 BTBM 核替换为虚部布朗运动时间布朗角过程（IBTBAP）核，可得到线性化柯朗-西瓦什insky SPDE 的弱形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 BTBM SIEs 是否能在经典二阶 SPDE 限制于 d=1 的前提之外，在空间维数 d=1,2,3 下支持解？
• RQ2 在漂移系数 a 满足弱于利普希茨与利普希茨条件时，BTBM SIEs 解的精确时空赫尔德正则性为何？
• RQ3 通过布朗运动时间随机游走（BTRW）的格点逼近能否一致地逼近连续 BTBM SIE 的解？在极限中保持了何种正则性？
• RQ4 BTBM SIEs 如何与四阶 SPDEs 相连，特别是参数化 BTBM SPDEs 与柯朗-西瓦什insky型方程？
• RQ5 能否系统性地发展一种适用于任意阶次的基于核的 SIEs 与 SPDEs 的新型 K-鞅方法，特别是针对非马氏、非半鞅核？

主要发现

• 在漂移系数 a 满足弱于利普希茨与利普希茨条件时，BTBM SIE 在 d=1,2,3 下均存在解，突破了经典二阶 SPDE 仅限于 d=1 的限制。
• 在空间上，解 U 在 d=1,2 时表现出近乎局部利普希茨正则性，在 d=3 时表现出近乎局部赫尔德 1/2 正则性，表明其空间正则性为布朗平面的两倍。
• 在时间上，解在 d=1,2,3 时为局部 γ-赫尔德连续，其中 γ∈(0,(4−d)/8)，表明随着维数增加，时间正则性得到改善。
• BTRW SIE 的格点极限收敛于连续 BTBM SIE，且极限解继承了连续情形下的相同赫尔德正则性。
• 通过其核，BTBM SIE 与一种新型参数化四阶 SPDE 直接关联；将核替换为 IBTBAP 核，可得到线性化柯朗-西瓦什insky SPDE 的弱形式。
• 为 BTRW 过程推导出一个四阶微分-差分方程（DDE），建立了格点过程与高阶 PDE 之间的一种新关联。